Bạn An có một đoạn dây thép dài $ 16 $ $ dm $ muốn uốn thành một kim tự tháp có dạng chóp tứ giác đều (đoạn dây thép được uốn thành 4 cạnh bên và 4 cạnh đáy của kim tự tháp). Hỏi thể tích lớn nhất của kim tự tháp bạn An có thể làm được là bao nhiêu? (đơn vị: $ dm ^ { 3 } $, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Kí hiệu kim tự tháp dạng chóp tứ giác đều là $ S.ABCD $ có đáy tâm $ O $ như hình vẽ. Đặt $ AB=x $. Khi đó $ SA=4-x⇒0 < x < 4 $. Lại có $ OC=\frac { x } { \sqrt[] { 2 } } $ nên $ SO=\sqrt[] { (4-x) ^ { 2 } -\frac { x ^ { 2 } } { 2 } }=\sqrt[] { 16-8x+\frac { x ^ { 2 } } { 2 } } $. Để $ SO $ xác định thì $ 16-8x+\frac { x ^ { 2 } } { 2 }>0⇔\left[ \begin{array}{l} x < 8-4\sqrt[] { 2 } \\ x>8+4\sqrt[] { 2 } \end{array} \right. $. Kết hợp với điều kiện $ 0 < x < 4 $ ta có $ 0 < x < 8-4\sqrt[] { 2 } $. Thể tích của chóp là $ V_{ S.ABCD } =\frac { 1 } { 3 }x ^ { 2 } .\sqrt[] { 16-8x+\frac { x ^ { 2 } } { 2 } }=\frac { 1 } { 3\sqrt[] { 2 } }\sqrt[] { 32x ^ { 4 } -16x ^ { 5 } +x ^ { 6 } } $. Đặt $ f(x)=32x ^ { 4 } -16x ^ { 5 } +x ^ { 6 } $. Ta xét $ f(x) $ trên $ \left[ 0;8-4\sqrt[] { 2 } \right] $. Ta có: $ f'(x)=128x ^ { 3 } -80x ^ { 4 } +6x ^ { 5 } =0⇔\left[ \begin{array}{l} x=0 \\ x=\frac { 4(5-\sqrt[] { 13 }) } { 3 } \\ x=\frac { 4(5+\sqrt[] { 13 }) } { 3 }(L) \end{array} \right. $. Thay vào ta được $ f(0)=f(8-4\sqrt[] { 2 })=0 $; $ f\left ( { \frac { 4(5-\sqrt[] { 13 }) } { 3 } } \right )≈1.95 $. Vậy thể tích lớn nhất của kim tự tháp bạn An có thể làm được là $ 1,95 $.