Một chiếc trực thăng bay trong điều kiện tầm nhìn kém tiến về phía một sườn núi dốc lên, được mô tả bởi các điểm $ P\left ( { 0;5;0 } \right ),{ \rm{ } }Q\left ( { 5;10;2 } \right ),{ \rm{ } }R\left ( { 10;10;2 } \right ) $ Trực thăng bay qua các điểm $ A(1;6;1) $ và $ B(2;7;1) $ (đơn vị km). Nếu trực thăng tiếp tục giữ nguyên hướng bay hiện tại, sẽ va vào sườn núi. Vì thế để tránh tai nạn, tại điểm $ B $ phi công giữ nguyên hướng theo phương $ x-y $ nhưng bay lên với góc nâng sao cho đường bay song song với sườn núi. Tính góc mà phi công đã thay đổi hướng bay tại điểm $ B $ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười, đơn vị độ)

$ \overset\rightarrow { PQ }=(5;5;2),\overset\rightarrow { PR }=(10;5;2),n=\left[ \overset\rightarrow { PQ },\overset\rightarrow { PR } \right]=(0;10;-25) $ Vậy phương trình mặt phẳng sườn núi: $ 2y-5z-10=0 $ Hướng bay mới: $ v=(1;1;k),k\in \mathbb{R} $ Điều kiện $ v⊥n $: $ (1;1;k)⋅(0;2;-5)=0⇒2-5k=0⇒k=\frac { 2 } { 5 }. $ Đường bay mới qua $ B $: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=2+t \\ y=7+t \\ z=1+\frac { 2 } { 5 }t \\ \end{array} \end{array} \right. $ Góc đổi hướng tại $ B $ Góc giữa $ v_{ 0 } =(1;1;0) $ và $ v=\left ( { 1;1;\frac { 2 } { 5 } } \right ) $: $ \cos\theta =\frac { v_{ 0 } ⋅v } { \left | { v_{ 0 } } \right |\left | { v } \right | }=\frac { 2 } { \sqrt[] { 2 }\sqrt[] { 2+\frac { 4 } { 25 } } }=\frac { 5\sqrt[] { 3 } } { 9 }⇒\theta ≈15,8 ^ { ° } $