Đường ống dẫn trên không là hệ thống đường ống được treo trên các giá đỡ hoặc cột cao, dùng để vận chuyển dầu thô hoặc các sản phầm dầu mỏ từ nơi này đến nơi khác mà không cần chôn dưới lòng đất. Hệ thống này thường được sử dụng trong các khu vực có địa hình khó khăn, vùng băng giá, rừng rậm,… những nơi mà việc đào đường ống ngầm không khả thi. Với hệ trục tọa độ $ Oxyz $thích hợp, đơn vị trên mỗi trục là mét, người ta thiết lập một đường ống dẫn dầu trên không dọc theo đường thẳng $ d:\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=t \\ y=0 \\ z=16 \\ \end{array} \end{array} \right.\,\,\,(t $ là tham số). Vì địa hình phức tạp, người ta đành chọn điểm $ A\left ( { 12;10;\,15 } \right ) $ cạnh vách núi để làm điểm trung chuyển từ mặt đất (mặt phẳng $ Oxy $) đến đường ống này. Dựa vào kinh nghiệm của mình họ phải chọn vị trí $ B $ thuộc đường ống và vị trí $ C $ thuộc mặt đất sao cho tổng độ dài các đoạn đường $ AB,BC,AC $ là bé nhất, tìm giá trị bé nhất đó theo đơn vị mét, làm tròn đến hàng phần chục.

Vì điểm $ A\left ( { 12;10;\,15 } \right ) $ và đường thẳng $ d $ cố định, nên khoảng cách từ $ A $ đến $ d $ không đổi Vậy khoảng cách từ điểm $ A $ đến điểm $ B $ nhỏ nhất bằng khoảng cách từ $ A $ đến đường thẳng $ d $. Gọi $ \left ( { \alpha } \right ) $ là mặt phẳng đi qua $ A $ và vuông góc với $ d $, $ \left ( { \alpha } \right ) $ nhận $ \overset\rightarrow { n }=\left ( { 1;0;0 } \right ) $ làm vectơ pháp tuyến $ \left ( { \alpha } \right ) $: $ x-12=0 $ Khi đó $ B $ là giao điểm của đường thẳng $ d $ và mặt phẳng $ \left ( { \alpha } \right ) ⇒ B\left ( { 12;0;\,16 } \right ) $ Gọi $ A' $ là điểm đối xứng của $ A $ qua mặt phẳng $ \left ( { Oxy } \right ) ⇒ A'\left ( { 12;10;\,-15 } \right ) $ và $ CA=CA' $ Ta có $ AB+AC+BC=AB+BC+A'C $ Để tổng độ dài các đoạn đường $ AB,BC,AC $ là bé nhất $ ⇒B,C,A' $ thẳng hàng $ ⇒AB+BC+A'C=AB+BA' $ Mà $ \overset\rightarrow { AB }\left ( { 0;-10;\,1 } \right );\,\,\overset\rightarrow { BA' }\left ( { 12;10;\,-15 } \right ) $ $ ⇒AB+BC+A'C=AB+BA'=\sqrt[] { 10 ^ { 2 } +31 ^ { 2 } }+\sqrt[] { 10 ^ { 2 } +1 ^ { 2 } }≈42,6 $