Độ sâu $h$ (m) của mực nước ở một cảng biển vào thời điểm $t$ (giờ) sau khi thủy triều lên lần đầu tiên trong ngày được tính xấp xỉ bởi công thức $h(t) = 0,8\cos(0,5t) + 5$. (Theo https://noc.ac.uk/files/documents/business/an-introduction-to-tidalmodelling.pdf) Một con tàu cần mực nước sâu $4,6\text{m}$ để có thể di chuyển ra vào cảng an toàn. Hỏi có bao nhiêu thời điểm trong vòng 12 tiếng sau khi thủy triều lên lần đầu tiên trong ngày tàu có thể hạ thủy?

Lời giải Để tàu có thể hạ thủy an toàn thì mực nước phải đạt độ sâu $4,6\text{m}$, tức là: $$ 0,8\cos(0,5t) + 5 = 4,6 $$ $$ \Leftrightarrow 0,8\cos(0,5t) = -0,4 $$ $$ \Leftrightarrow \cos(0,5t) = -\frac{1}{2} $$ $$ \Leftrightarrow 0,5t = \pm\frac{2\pi}{3} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) $$ $$ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} t = \frac{4\pi}{3} + k4\pi \\ t = -\frac{4\pi}{3} + k4\pi \end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z}) $$ Xét khoảng thời gian trong vòng 12 tiếng sau khi thủy triều lên lần đầu tiên trong ngày, ta có điều kiện $0 \leq t \leq 12$. - Với họ nghiệm $t = \frac{4\pi}{3} + k4\pi$: $$ 0 \leq \frac{4\pi}{3} + k4\pi \leq 12 \Leftrightarrow -\frac{1}{3} \leq k \leq \frac{3}{\pi} - \frac{1}{3} \approx 0,62 $$ Do $k \in \mathbb{Z}$ nên $k = 0$, suy ra nghiệm $t = \frac{4\pi}{3} \approx 4,19$ (giờ). - Với họ nghiệm $t = -\frac{4\pi}{3} + k4\pi$: $$ 0 \leq -\frac{4\pi}{3} + k4\pi \leq 12 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \leq k \leq \frac{3}{\pi} + \frac{1}{3} \approx 1,29 $$ Do $k \in \mathbb{Z}$ nên $k = 1$, suy ra nghiệm $t = -\frac{4\pi}{3} + 4\pi = \frac{8\pi}{3} \approx 8,38$ (giờ). Vậy có 2 thời điểm trong vòng 12 tiếng sau khi thủy triều lên lần đầu tiên trong ngày tàu có thể hạ thủy an toàn, đó là $t = \frac{4\pi}{3}$ và $t = \frac{8\pi}{3}$ (giờ).