Cho tứ diện $ABCD$. Các điểm $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AC$, $BC$, điểm $P$ thuộc đoạn $BD$ sao cho $BP = \frac{2}{3}BD$. Gọi $K$ là giao điểm của đường thẳng $AD$ và mặt phẳng $(MNP)$.

a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Sai Lời giải a) Xét tam giác $ABC$ có $M$, $N$ theo thứ tự là trung điểm của $AC$, $BC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$. Suy ra $MN \parallel AB$. Hai mặt phẳng $(MNP)$ và $(ABD)$ phân biệt, có điểm chung $P$ và lần lượt chứa hai đường thẳng song song là $MN$ và $AB$ nên chúng cắt nhau theo một giao tuyến $a$ qua $P$ và $a \parallel AB$. Điểm $K$ là giao điểm của $a$ và $AD$. Vậy $KP \parallel AB$. b) Ta có $KP \parallel AB$ và $MN \parallel AB$ nên $KP \parallel MN$. Từ $KP \parallel AB$, suy ra: $$ \frac{KP}{AB} = \frac{DP}{DB} = \frac{1}{3} \Rightarrow KP = \frac{1}{3}AB = \frac{2}{3}MN \Rightarrow KP < MN $$ Vậy tứ giác $MNPK$ chỉ là hình thang, không thể là hình bình hành. c) Ba mặt phẳng $(ACD)$, $(BCD)$ và $(MNP)$ đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt $MK$, $NP$, $CD$. Theo trên, hai đường thẳng $KM$ và $CD$ cắt nhau nên theo định lí về ba đường giao tuyến, ta có ba đường thẳng $KM$, $NP$, $CD$ đồng quy. d) Ta xác định điểm $I$ theo các bước như sau: - Chọn mặt phẳng phụ chứa $AP$ là $(ABD)$. - Hai mặt phẳng $(ABD)$ và $(DMN)$ phân biệt, có điểm chung $D$, lần lượt chứa hai đường thẳng song song là $AB$ và $MN$ nên chúng cắt nhau theo một giao tuyến $d$ qua $D$ và $d \parallel AB$. - Trong mặt phẳng $(ABD)$, hai đường thẳng $AP$ và $d$ cắt nhau tại $I$. Đó chính là giao điểm $I$ của $AP$ và $(DMN)$. Vì $DI \parallel AB$ nên: $$ \frac{DI}{AB} = \frac{DP}{PB} = \frac{1}{2} \Rightarrow DI = \frac{1}{2}AB $$