Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có $AB = 2a$, $SO = a\sqrt{2}$ (với $O$ là tâm của mặt đáy). $M, N$ lần lượt là trung điểm $SA, SD$.

a) Đúng b) Sai c) Sai d) Sai Lời giải a) $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều nên $SO \perp (ABCD)$. Do đó $(SO, (ABD)) = 90^\circ$. b) $ABCD$ là hình vuông nên $AO = \frac{AB\sqrt{2}}{2} = a\sqrt{2}$. Mà $SO = a\sqrt{2}$ và $\Delta SAO$ vuông tại $O$. Do đó, $\Delta SAO$ vuông cân tại $O$. Vậy $(SA, (ABCD)) = \widehat{SAO} = 45^\circ$. c) Vì $ON \parallel SB$, $ON ot\subset (SBC)$, $SB \subset (SBC)$ nên $ON \parallel (SBC)$. Suy ra $(ON, (SBC)) = 0^\circ$. d) Gọi $E$ là trung điểm $AB$. Khi đó, $OE$ là đường trung bình trong tam giác $ABC$ nên $OE \parallel BC$ và $OE = \frac{1}{2}BC = a$. Mà $BC \perp AB$ nên $OE \perp AB$. Mặt khác $SO \perp AB$ (do $SO \perp (ABCD)$). Vậy $AB \perp (SOE)$. Trong $(SOE)$, kẻ $OF \perp SE$ ($F \in SE$). Mà $OF \perp AB$ (do $AB \perp (SOE)$) nên $OF \perp (SAB)$ hay $(OM, (SAB)) = \widehat{OMF}$. Ta có $OM$ là đường cao tam giác vuông cân $SAO$ nên $OM = \frac{SO \cdot \sqrt{2}}{2} = a$. Xét tam giác $SOE$ vuông tại $O$ có đường cao $OF$, suy ra $SE = \sqrt{SO^{2} + OE^{2}} = \sqrt{2a^{2} + a^{2}} = a\sqrt{3}$ và $OF = \frac{SO \cdot OE}{SE} = \frac{a\sqrt{2} \cdot a}{a\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$. Xét tam giác $OMF$ vuông tại $F$, có $\sin\widehat{OMF} = \frac{OF}{OM} = \frac{\sqrt{6}}{3}$, suy ra $\cos\widehat{OMF} = \sqrt{1 - \frac{6}{9}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \neq \frac{\sqrt{6}}{3}$. Vậy $\cos(OM, (SAB)) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, khẳng định d) sai.