Trắc nghiệm · Câu 92
Cho khối chóp cụt đều $ABCD.A'B'C'D'$, đáy $ABCD$ và $A'B'C'D'$ có độ dài cạnh lần lượt là $6a$ và $3a$, độ dài cạnh bên bằng $4a$. Tính thể tích của khối chóp cụt đều $ABCD.A'B'C'D'$.
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
C.
$\frac{21a^3\sqrt{46}}{2}$
Lời giải
Diện tích hai đáy là:
$$
S_1 = (6a)^2 = 36a^2, \quad S_2 = (3a)^2 = 9a^2
$$
Gọi $O, O'$ là tâm hai đáy. Chiều cao $h = OO'$. Hạ $B'H \perp BD$ tại $H$. Khi đó $h = B'H$.
Trong hình vuông $ABCD$, đường chéo $BD = 6a\sqrt{2}$.
Trong hình vuông $A'B'C'D'$, đường chéo $B'D' = 3a\sqrt{2}$.
Vì khối chóp cụt đều nên $H$ nằm trên $BD$ và:
$$
BH = \frac{BD - B'D'}{2} = \frac{6a\sqrt{2} - 3a\sqrt{2}}{2} = \frac{3a\sqrt{2}}{2}
$$
Trong tam giác $BB'H$ vuông tại $H$:
$$
h = B'H = \sqrt{BB'^2 - BH^2} = \sqrt{(4a)^2 - \left(\frac{3a\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{16a^2 - 4{,}5a^2} = \frac{a\sqrt{46}}{2}
$$
Thể tích khối chóp cụt:
$$
V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1S_2}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{46}}{2} \cdot (36a^2 + 9a^2 + 18a^2) = \frac{a\sqrt{46}}{6} \cdot 63a^2 = \frac{21a^3\sqrt{46}}{2}
$$