Một giáo viên khảo sát ngẫu nhiên $ 100 $ học sinh trong trường về thói quen học bài và kết quả kiểm tra môn Toán. Kết quả thu được như sau: ∙ Có $ 60 $ học sinh học bài thường xuyên, trong đó có $ 48 $ học sinh đạt điểm cao. ∙ Có $ 40 $ học sinh không học bài thường xuyên, trong đó có $ 12 $ học sinh đạt điểm cao. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong số 100 học sinh đã khảo sát.

a. Đúng. Gọi biến cố $ A: $ “ Chọn được học sinh học bài thường xuyên”. Biến cố $ B: $ “ Chọn được học sinh đạt điểm cao”. $ ⇒ $ “ Chọn được học sinh không học bài thường xuyên”. “ Chọn được học sinh không đạt điểm cao”. Ta có: $ P\left ( { A } \right )=\frac { 60 } { 100 }=\frac { 3 } { 5 } $; ; $ P\left ( { B|A } \right )=\frac { 48 } { 60 }=\frac { 4 } { 5 } $; $ P\left ( { B| \bar A } \right )=\frac { 12 } { 40 }=\frac { 3 } { 10 } $ Theo công thức Bayes, ta có: $ P\left ( { A|B } \right )=\frac { P\left ( { A } \right ).P\left ( { B|A } \right ) } { P\left ( { A } \right ).P\left ( { B|A } \right )+P\left ( { \bar A } \right ).P\left ( { B| \bar A } \right ) }=\frac { \frac { 3 } { 5 }.\frac { 4 } { 5 } } { \frac { 3 } { 5 }.\frac { 4 } { 5 }+\frac { 2 } { 5 }.\frac { 3 } { 10 } }=0,8 $. b. Sai. Ta có: $ P\left ( { \bar B|A } \right )=\frac { 60-48 } { 60 }=\frac { 1 } { 5 } $; $ P\left ( { \bar B| \bar A } \right )=\frac { 40-12 } { 40 }=\frac { 7 } { 10 } $ Theo công thức Bayes, ta có: $ P\left ( { A\| \bar B } \right )=\frac { P\left ( { A } \right ).P\left ( { \bar B\|A } \right ) } { P\left ( { A } \right ).P\left ( { \bar B\|A } \right )+P\left ( { \bar A } \right ).P\left ( { \bar B\| \bar A } \right ) }=\frac { \frac { 3 } { 5 }.\frac { 1 } { 5 } } { \frac { 3 } { 5 }.\frac { 1 } { 5 }+\frac { 2 } { 5 }.\frac { 7 } { 10 } }=0,3 $. c. Đúng. Theo công thức xác suất toàn phần ta có: $ P\left ( { B } \right )=P\left ( { A } \right ).P\left ( { B|A } \right )+P\left ( { \bar{A} } \right ).P\left ( { B|\bar{A} } \right )=0,6.0,8+0,4.0,3=0,6 $. d. Đúng. Xác suất học sinh học bài thường xuyên đạt điểm cao: $ P\left ( { B\|A } \right )=\frac { 48 } { 60 }=0,8 $. Xác suất học sinh không học bài thường xuyên đạt điểm cao: $ P\left ( { B\| \bar A } \right )=\frac { 12 } { 40 } $$ =0,3 $. Do đó: $ \frac { P\left ( { B\|A } \right ) } { P\left ( { B\| \bar A } \right ) }=\frac { 0,8 } { 0,3 }=\frac { 8 } { 3 } $. Vậy, học sinh học bài thường xuyên có khả năng đạt điểm cao gấp $ \frac { 8 } { 3 } $ lần so với học sinh không học bài thường xuyên.