Trắc nghiệm · Câu 79
Cho khối chóp $S.ABC$ có $SA=a$, $SB=a\sqrt{2}$, $SC=a\sqrt{3}$. Thể tích lớn nhất của khối chóp là
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
D.
$\frac{a^3\sqrt{6}}{6}$.
Lời giải
Lời giải
Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $(SBC)$. Khi đó:
$$
V = \frac{1}{3} \cdot AH \cdot S_{SBC}
$$
Ta có $AH \leq SA$; dấu “=” xảy ra khi $SA \perp (SBC)$.
Diện tích tam giác $SBC$ là:
$$
S_{SBC} = \frac{1}{2} SB \cdot SC \cdot \sin(\widehat{SBC}) \leq \frac{1}{2} SB \cdot SC
$$
Dấu “=” xảy ra khi $SB \perp SC$.
Khi đó:
$$
V = \frac{1}{3} \cdot AH \cdot S_{SBC} \leq \frac{1}{3} \cdot SA \cdot \frac{1}{2} \cdot SB \cdot SC = \frac{1}{6} \cdot SA \cdot SB \cdot SC
$$
Dấu “=” xảy ra khi $SA, SB, SC$ đôi một vuông góc với nhau.
Suy ra thể tích lớn nhất của khối chóp là:
$$
V = \frac{1}{6} \cdot a \cdot a\sqrt{2} \cdot a\sqrt{3} = \frac{a^3\sqrt{6}}{6}
$$