Trắc nghiệm · Câu 82
Khối chóp tam giác $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $C$ và $SA \perp (ABC)$, $SC=a$. Thể tích khối chóp lớn nhất khi góc giữa đường thẳng $SC$ và $(ABC)$ bằng $\alpha$. Tính $\cos\alpha$.
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
D.
$\frac{\sqrt{6}}{3}$.
Lời giải
Lời giải
Vì $SA \perp (ABC)$ nên góc giữa $SC$ và $(ABC)$ là $\widehat{SCA} = \alpha$.
Trong tam giác vuông $SAC$ có $SC=a$, ta có:
$$
SA = a \sin\alpha, \quad AC = a \cos\alpha
$$
Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$ nên $AC=BC=a \cos\alpha$. Diện tích đáy $S_{ABC}$ là:
$$
S_{ABC} = \frac{1}{2} AC^2 = \frac{1}{2} a^2 \cos^2\alpha
$$
Thể tích khối chóp là:
$$
V = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot S_{ABC} = \frac{1}{3} \cdot (a \sin\alpha) \cdot \left(\frac{1}{2} a^2 \cos^2\alpha\right) = \frac{a^3}{6} \sin\alpha (1 - \sin^2\alpha)
$$
Đặt $t = \sin\alpha$ ($t \in (0; 1)$). Xét hàm số $f(t) = t(1-t^2) = t - t^3$. Đạo hàm $f'(t) = 1 - 3t^2 = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Khi đó $\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Suy ra:
$$
\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}
$$