Trắc nghiệm · Câu 83
Cho khối chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình vuông cạnh $3a$. Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính góc giữa $SC$ và $(ABCD)$, biết thể tích của khối chóp $S.ABCD$ là $\frac{9\sqrt{15}a^3}{2}$.
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
C.
$60°$.
Lời giải
Lời giải
Gọi $H$ là trung điểm $AB$. Vì $\Delta SAB$ cân tại $S$ và $(SAB) \perp (ABCD)$ nên $SH \perp (ABCD)$.
Diện tích đáy $S_{ABCD} = (3a)^2 = 9a^2$. Thể tích khối chóp:
$$
V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SH = \frac{9\sqrt{15}a^3}{2}
$$
$$
\Rightarrow SH = \frac{3V}{S_{ABCD}} = \frac{3 \cdot \frac{9\sqrt{15}a^3}{2}}{9a^2} = \frac{3a\sqrt{15}}{2}
$$
$CH$ là hình chiếu vuông góc của $SC$ trên $(ABCD)$ nên góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SCH}$.
Trong $\Delta BCH$ vuông tại $B$:
$$
CH = \sqrt{BC^2 + BH^2} = \sqrt{(3a)^2 + \left(\frac{3a}{2}\right)^2} = \sqrt{9a^2 + \frac{9a^2}{4}} = \sqrt{\frac{45a^2}{4}} = \frac{3a\sqrt{5}}{2}
$$
Trong $\Delta SCH$ vuông tại $H$:
$$
\tan(\widehat{SCH}) = \frac{SH}{CH} = \frac{\frac{3a\sqrt{15}}{2}}{\frac{3a\sqrt{5}}{2}} = \sqrt{3} \Rightarrow \widehat{SCH} = 60°
$$