Cho hình chóp $ S.ABC $ đáy là tam giác đều cạnh $ a $, có thể tích bằng $ V $. Hình chiếu của $ S $ lên mặt đáy trùng với tâm $ O $ của đường tròn ngoại tiếp đáy, $ SO = 2a $. Một lăng trụ tam giác đều có đáy dưới nằm trên đáy hình chóp, ba đỉnh của đáy nằm trên ba cạnh bên hình chóp. $ V_{ 1 } $ là thể tích lớn nhất của lăng trụ khi $ a $ không đổi. Tính $ \frac { V_{ 1 } } { V } $.

Question

Beedemy · Accepted Answer

B. $ \frac { 4 } { 9 } $. Lời giải: Ta có: $ MNP $ là tam giác đều. Đặt $ NN'=x;\,M'N'=y $ Ta có: $ \frac { NN' } { SO }=\frac { BN' } { SB };\frac { M'N' } { AB }=\frac { SN' } { SB }⇒\frac { NN' } { SO }+\frac { M'N' } { AB }=1⇒\frac { x } { 2a }+\frac { y } { a }=1⇔x=2a\left ( { 1-\frac { y } { a } } \right ) $. Ta có: $ V_{ MNP.M'N'P' } =NN'.S_{ MNP } =x.\frac { \sqrt[] { 3 } } { 4 }y ^ { 2 } =\frac { \sqrt[] { 3 } } { 4 }2a\left ( { 1-\frac { y } { a } } \right )y ^ { 2 } $ $ =\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 }.4a ^ { 2 } .\frac { y } { 2a }.\frac { y } { 2a }\left ( { 1-\frac { y } { a } } \right )\leq 2a ^ { 3 } \sqrt[] { 3 }\left ( { \frac { 1-\frac { y } { a }+\frac { y } { 2a }+\frac { y } { 2a } } { 3 } } \right ) ^ { 3 } =\frac { 2a ^ { 3 } \sqrt[] { 3 } } { 27 } $. $ ⇒V_{ 1 } =\frac { 2a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 27 } $. Dấu bằng khi $ y=\frac { 2 } { 3 }a;\,x=\frac { 2a } { 3 } $. Thể tích hình chóp $ S.ABC $ là: $ V=\frac { 1 } { 3 }SO.S_{ ABC } =\frac { 1 } { 3 }.2a.\frac { a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 4 }=\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 3 } } { 6 } $. Vậy $ \frac { V_{ 1 } } { V }=\frac { 4 } { 9 } $.

Cùng dạng: Thể tích hình chóp V = 1/3 · S đáy · h