Trắc nghiệm · Câu 77
Cho lăng trụ tam giác $ ABC.A'B'C' $ có đáy là tam giác đều cạnh $ a $. Độ dài cạnh bên bằng $ 4a $. Mặt phẳng $ \left ( { BCC'B' } \right ) $ vuông góc với đáy và $ \widehat { B'BC }=30° $. Thể tích khối chóp $ A.CC'B' $ là:
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
A.
$ \frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 3 } } { 6 } $
Lời giải
Gọi $ H $ là hình chiếu của $ B' $ trên $ BC $. Từ giả thiết suy ra: $ B'H⊥\left ( { ABC } \right ) $.
Xét tam giác vuông $ BB'H $ có $ B'H\,=\,BB'\,\sin30°\,=\,4a.\frac { 1 } { 2 }\,=\,2a $.
$ V_{ LT } =B'H.S_{ ABC } =2a.\frac { a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 4 } =\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 3 } } { 2 } $.
$ V_{ A.CC'B' } =\frac { 1 } { 2 }V_{ A.CC'B'B } =\frac { 1 } { 2 }.\frac { 2 } { 3 }V_{ LT } =\frac { 1 } { 3 }V_{ LT } =\frac { 1 } { 3 }.\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 3 } } { 2 } =\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 3 } } { 6 } $.
(Nhận xét: ta có thể tính $ B'H $ như sau: $ S_{ BB'C } =\frac { 1 } { 2 }BB'.BC.\sin \widehat { B'BC } =\frac { 1 } { 2 }4a.a.\sin30° =a ^ { 2 } $.
Mặt khác: $ S_{ BB'C } =\frac { 1 } { 2 }B'H.BC ⇒B'H=\frac { 2S_{ BB'C } } { BC } =\frac { 2a ^ { 2 } } { a }=2a $)