Trắc nghiệm · Câu 68
Cho khối chóp tam giác đều $ S.ABC $ có cạnh đáy bằng $ a $ và cạnh bên bằng $ 2a $. Tính thể tích $ V $ của khối chóp $ S.ABC $.
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
D.
$ V=\frac { \sqrt[] { 11 }a ^ { 3 } } { 12 } $
Lời giải
Do đáy là tam giác đều nên gọi $ I $ là trung điểm cạnh $ BC $, $ O $ là trọng tâm của tam giác $ ABC $, khi đó $ AI $ là đường cao của tam giác đáy. Theo định lý Pitago ta có $ AI=\sqrt[] { a ^ { 2 } -\frac { a ^ { 2 } } { 4 } }=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } $, và $ AO=\frac { 2 } { 3 }AI=\frac { 2a\sqrt[] { 3 } } { 3.2 }=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 3 } $.
Trong tam giác $ SOA $ vuông tại $ O $ ta có $ SO=\sqrt[] { 4a ^ { 2 } -\frac { a ^ { 2 } } { 3 } }=\frac { \sqrt[] { 11 }a } { \sqrt[] { 3 } } $.
Vậy thể tích khối chóp $ S.ABC $ là $ V=\frac { 1 } { 3 }.\frac { 1 } { 2 }a\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 }.\frac { \sqrt[] { 11 }a } { \sqrt[] { 3 } }=\frac { \sqrt[] { 11 }a ^ { 3 } } { 12 } $.