Cho khối lăng trụ tam giác đều $ ABC.A'B'C'. $ Các mặt phẳng $ \left ( { ABC' } \right ) $ và $ \left ( { A'B'C } \right ) $ chia khối lăng trụ đã cho thành 4 khối đa diện. Kí hiệu $ H_{ 1 } ,H_{ 2 } $ lần lượt là khối có thể tích lớn nhất và nhỏ nhất trong bốn khối trên. Giá trị của $ \frac { V_{ \left ( { H_{ 1 } } \right ) } } { V_{ \left ( { H_{ 2 } } \right ) } } $ bằng

Gọi$ E=AC'∩A'C $ và $ F=BC'∩B'C $. Khi đó: $ \left ( { ABC' } \right ) $ và $ \left ( { A'B'C } \right ) $chia khối lăng trụ tam giác đều $ ABC.A'B'C' $ thành 4 khối đa diện: $ CEFC' $; $ FEA'B'C' $; $ FEABC $ và $ FEABB'A' $ (hình vẽ). Gọi $ V $ là thể tích của khối lăng trụ tam giác đều $ ABC.A'B'C' $. Ta có $ V_{ C.A'B'C' } =V_{ C''.ABC } =\frac { 1 } { 3 }V $ $ V_{ FEA'B'C' } =V_{ C.A'B'C' } -V_{ CEFC' } $ và $ V_{ FEABC } =V_{ C'.ABC } -V_{ CEFC' } $ $ ⇒V_{ FEA'B'C' } =V_{ FEABC } $. Mặt khác: $ \frac { V_{ CEFC' } } { V_{ C.A'B'C' } }=\frac { CE } { CA' }.\frac { CF } { CB' }=\frac { 1 } { 2 }.\frac { 1 } { 2 }=\frac { 1 } { 4 }⇒V_{ CEFC' } =\frac { 1 } { 4 }V_{ C.A'B'C' } =\frac { 1 } { 4 }.\frac { 1 } { 3 }V=\frac { 1 } { 12 }V $ $ ⇒V_{ FEA'B'C' } =V_{ FEABC } =V_{ C.A'B'C' } -V_{ CEFC' } =\frac { 1 } { 3 }V-\frac { 1 } { 12 }V=\frac { 1 } { 4 }V $ $ ⇒V_{ FEABB'A' } =V-2.\frac { 1 } { 4 }V-\frac { 1 } { 12 }V=\frac { 5 } { 12 }V $ Do đó: $ H_{ 1 } $ có thể tích lớn nhất là khối đa diện $ FEABB'A' $; $ H_{ 2 } $ có thể tích nhỏ nhất là khối đa diện $ CEFC' $ và $ \frac { V_{ \left ( { H_{ 1 } } \right ) } } { V_{ \left ( { H_{ 2 } } \right ) } }=5 $.