Cho hình chóp tứ giác $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông cạnh $ a,\,\,SA⊥\left ( { ABCD } \right ) $. Gọi $ M $ là trung điểm $ SC $. $ F,H,G,K $lần lượt là trung điểm của $ MA,MB,MC,MD $. Biết $ d(MD,SB)=\frac { a\sqrt[] { 22 } } { 11 } $. Giá trị của $ V_{ ABCD.FHGK } $ là ?

Gọi $ N,T $ lần lượt là trung điểm của $ AD,SB $. Ta chứng minh được $ MT\parallel DN $và $ MT=DN $. Suy ra $ MTND $ là hình bình hành. Vậy $ MD\parallel NT $nên $ d(MD,SB)=d(MD,(SBN))=d(D,(SBN)) $ Lại có $ AD∩(SBN)=N $ và $ N $ là trung điểm $ AD $nên $ d(D,(SBN))=d(A;(SBN)) $. Kẻ $ AI⊥BN $tại $ I $ trong $ (ABCD) $. Kẻ $ AJ⊥SI $tại $ J $ trong $ (SAI) $. Ta chứng minh được $ d(A,(SBN))=AJ=\frac { a\sqrt[] { 22 } } { 11 } $. Xét $ ΔABN $ vuông tại $ A $ có đường cao $ AI $, ta có: $ \frac { 1 } { AI ^ { 2 } }=\frac { 1 } { AB ^ { 2 } }+\frac { 1 } { AN ^ { 2 } }=\frac { 5 } { a ^ { 2 } }⇒AI=\frac { a\sqrt[] { 5 } } { 5 }. $ Tương tự, ta cũng có: $ \frac { 1 } { AJ ^ { 2 } }=\frac { 1 } { AI ^ { 2 } }+\frac { 1 } { AS ^ { 2 } }=\frac { 5 } { a ^ { 2 } }+\frac { 1 } { AS ^ { 2 } }=\frac { 11 } { 2a ^ { 2 } }⇒AS=a\sqrt[] { 2 }⇒V_{ S.ABCD } =\frac { 1 } { 3 }.a ^ { 2 } .a\sqrt[] { 2 }=\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 2 } } { 3 } $. Vì $ SM∩\left ( { ABCD } \right )=C $ và $ SC=2MC $ nên $ V_{ M.ABCD } =\frac { 1 } { 2 }V_{ S.ABCD } =\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 2 } } { 6 } $. Vì $ F,H,G,K $lần lượt là trung điểm của $ MA,MB,MC,MD $ nên $ V_{ M.FHGK } =\frac { 1 } { 8 }V_{ M.ABCD } ⇒V_{ ABCD.FHGK } =\frac { 7 } { 8 }V_{ M.ABCD } =\frac { 7 } { 8 }.\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 2 } } { 6 }=\frac { 7\sqrt[] { 2 } } { 48 }a ^ { 3 } $.