Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Cho biết $SA = 3, AB = 2, AD = 3$. Gọi $\alpha$ là góc giữa $SA$ và $(SBD)$, tính $\sin\alpha$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Lời giải Gọi $I$ là hình chiếu của $A$ trên $BD$ $\Rightarrow AI \perp BD$. Mà $SA \perp BD$ (do $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy) nên $BD \perp \Big(SAI\Big)$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $SI$ $\Rightarrow AH \perp SI$. Mặt khác $BD \perp \Big(SAI\Big) \Rightarrow BD \perp AH$. Từ đó suy ra $AH \perp (SBD) \Rightarrow H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $\Big(SBD\Big)$. Suy ra góc giữa $SA$ và mặt phẳng $(SBD)$ là góc giữa $SA$ và $SH$. Khi đó: $\alpha = \widehat{ASH} = \widehat{ASI}$. Xét tam giác $ABD$ vuông tại $A$: $$ \frac{1}{AI^2} = \frac{1}{AD^2} + \frac{1}{AB^2} \Rightarrow AI = \frac{AB \cdot AD}{\sqrt{AB^2 + AD^2}} = \frac{2 \cdot 3}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{6\sqrt{13}}{13} $$ Xét tam giác $SAI$ vuông tại $A$: $$ SI = \sqrt{SA^2 + AI^2} = \sqrt{3^2 + \Big(\frac{6\sqrt{13}}{13}\Big)^2} = \frac{3\sqrt{221}}{13} $$ Khi đó: $$ \sin\alpha = \frac{AI}{SI} = \frac{\frac{6\sqrt{13}}{13}}{\frac{3\sqrt{221}}{13}} = \frac{2\sqrt{17}}{17} \approx 0,49 $$