Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$, gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$, cạnh đáy $AB = a$, cạnh bên $SA = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.

a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Sai Lời giải a) Vì $ABCD$ là hình vuông nên $OA = OB = OC = OD$, suy ra $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $ABCD$ nên $SO \perp (ABCD)$. b) Vì $SO \perp (ABCD)$ nên $OA$ là hình chiếu của $SA$ trên $(ABCD)$. Khi đó góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là $\widehat{SAO}$. Ta có $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Xét tam giác $SAO$ vuông tại $O$, ta có $SO = \sqrt{SA^{2} - AO^{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{6}$. Xét tam giác $SAO$ vuông tại $O$ có $\cos\widehat{SAO} = \frac{OA}{SA} = \frac{a\sqrt{2}}{2} : \frac{a\sqrt{6}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Suy ra $\widehat{SAO} = 30^\circ$. Vậy góc giữa $SA$ và $(ABCD)$ bằng $30^\circ$. c) Ta có: $$ \left\{\begin{array}{l} AC \perp SO \\ AC \perp BD \end{array}\right. \Rightarrow AC \perp (SBD) $$ Mà $MN \parallel AC$ ($MN$ là đường trung bình trong tam giác $SAC$) $\Rightarrow MN \perp (SBD)$. Suy ra góc giữa $MN$ và mặt phẳng $(SBD)$ bằng $90^\circ$. d) Ta có $SO \perp (ABCD)$ nên $OH$ là hình chiếu của $SH$ trên $(ABCD)$. Khi đó côsin góc giữa $SH$ và $(ABCD)$ là $\cos\widehat{SHO}$. Ta có $OH = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$. Xét tam giác $SHB$ vuông tại $H$, theo định lí Pytago ta có $SH = \sqrt{SB^{2} - HB^{2}} = \frac{a\sqrt{15}}{6}$. Vì tam giác $SOH$ vuông tại $O$ nên $\cos\widehat{SHO} = \frac{OH}{SH} = \frac{a}{2} : \frac{a\sqrt{15}}{6} = \frac{\sqrt{15}}{5}$.