Ba cầu thủ sút phạt đền $ 11m $, mỗi người đá một lần với xác suất làm bàn tương ứng là $ a $; $ b $ và $ 0,7 $ (với $ 0 < b < a < 1 $). Biết xác suất ghi bàn để ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn là $ 0,982 $ và xác suất để ba cầu thủ ghi bàn là $ 0,392 $. Tính xác suất để có đúng hai cầu thủ ghi bàn (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Gọi $ A_{ i } $ là biến cố “người thứ $ i $ ghi bàn” với $ i=1,2,3 $. Ta có các biến cố $ A_{ 1 } ,\,\,A_{ 2 } ,\,\,A_{ 3 } $ là các biến cố độc lập và $ P\left ( { A_{ 1 } } \right )=a,\,\,P\left ( { A_{ 2 } } \right )=b,\,\,P\left ( { A_{ 3 } } \right )=0,7 $ Gọi $ A $ là biến cố: “Có ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn” $ B $ là biến cố: “Cả ba cầu thủ đều ghi bàn” $ C $ là biến cố: “Có đúng hai cầu thủ ghi bàn” Ta có $ A=1-\bar A_{ 1 } .\bar A_{ 2 } .\bar A_{ 3 } $ $ ⇒P\left ( { A } \right )=1-\left ( { 1-a } \right )\left ( { 1-b } \right )\left ( { 1-0,7 } \right )=1-0,3.\left ( { 1-a } \right )\left ( { 1-b } \right ) $. Lại có $ B=A_{ 1 } .A_{ 2 } .A_{ 3 } ⇒P\left ( { B } \right )=P\left ( { A_{ 1 } .A_{ 2 } .A_{ 3 } } \right )=P\left ( { A_{ 1 } } \right ).P\left ( { A_{ 2 } } \right ).P\left ( { A_{ 3 } } \right )=0,7.ab $. Từ giả thiết ta có hệ phương trình $ \left \{ \begin{array}{l} 1-0,3.\left ( { 1-a } \right ).\left ( { 1-b } \right )=0,982 \\ 0,7ab=0,392 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} 1+ab-\left ( { a+b } \right )=0,06 \\ ab=0,56 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} a+b=1,5 \\ ab=0,56 \end{array} \right.⇒\left \{ \begin{array}{l} a=0,8 \\ b=0,7 \end{array} \right.\,\,\,\,\left ( { do\,\,a>b } \right ) $ Mặt khác ta có $ C=\bar A_{ 1 } A_{ 2 } A_{ 3 } ∪A_{ 1 } \bar A_{ 2 } A_{ 3 } ∪A_{ 1 } A_{ 2 } \bar A_{ 3 } $ nên $ P\left ( { C } \right )=\left ( { 1-a } \right ).\,b.0,7+a.\left ( { 1-b } \right ).0,7+a.\,b.\,0,3=\,0,2.\,0,7.\,0,7+0,8.\,0,3.\,0,7+0,8.\,0,7.\,0,3=0,434 $.