(Chuyên KHTN Hà Nội 2025) Có hai phác đồ điều trị $ A $ và $ B $ cho một loại bệnh. Phác đồ $ A $ có xác suất chữa khỏi bệnh là $ 60\% $ và xác xuất gây tác dụng phụ nghiêm trọng là $ 5\% $. Phác đồ $ B $ có xác xuất chữa khỏi bệnh là $ 70\% $ và xác suất gây tác dụng phụ nghiêm trọng là $ 10\% $. Một bệnh nhân được điều trị ngẫu nhiên bằng một trong hai phác đồ (xác suất chọn mỗi phác đồ là $ 50\% $).

Gọi X: “Phác đồ A chữa khỏi bệnh” và Y: “phác đồ A gây tác dụng phụ nghiêm trọng” Ta có $ P\left ( { X } \right )=0,6 $ và $ P\left ( { Y } \right )=0,05 $ Gọi M: “Phác đồ B chữa khỏi bệnh” và N: “phác đồ B gây tác dụng phụ nghiêm trọng” Ta có $ P\left ( { M } \right )=0,7 $ và $ P\left ( { N } \right )=0,1 $ a) Sai: Vì xác suất chọn được phác đồ A là $ 0,5 $ và xác suất phác đồ A chữa khỏi bệnh là $ 0,6 $ nên xác xuất bệnh nhân được điều trị bằng phác đồ A và chữa khỏi bệnh là $ 0,5.0,6=0,3 $. b) Đúng: +) Xác suất sử dụng phác đồ A gây tác dụng phụ nghiêm trọng là $ P\left ( { Y } \right )=0,05 $ và xác suất để chọn được phác đồ A là $ 0,5 $ nên xác suất chọn được phác đồ A và bệnh nhân bị tác dụng phụ nghiêm trọng là $ 0,5.0,05=0,025 $. +) Xác suất sử dụng phác đồ B gây tác dụng phụ nghiêm trọng là $ P\left ( { N } \right )=0,1 $ và xác suất để chọn được phác đồ B là $ 0,5 $ nên xác suất chọn được phác đồ B và bệnh nhân bị tác dụng phụ nghiêm trọng là $ 0,5.0,1=0,05 $. Gọi C: “Bệnh nhân gặp tác dụng phụ nghiêm trọng” thì $ P\left ( { C } \right )=0,025+0,05=0,075 $. c) Đúng: Gọi C: “Bệnh nhân gặp tác dụng phụ nghiêm trọng” ta có $ P\left ( { C } \right )=0,075 $. Xác xuất để bệnh nhân được điều trị bằng phác đồ B và gặp tác dụng phụ nghiêm trọng $ P\left ( { B∩C } \right )=0,5.0,1=0,05 $ Suy ra xác suất bệnh nhân đã được điều trị bằng phác đồ B, biết rằng bệnh nhân này gặp tác dụng phụ nghiêm trọng là $ P\left ( { B\|C } \right )=\frac { P\left ( { B∩C } \right ) } { P\left ( { C } \right ) }=\frac { 0,05 } { 0,075 }=\frac { 2 } { 3 }>0,65 $. d) Sai: Gọi D là biến cố “bệnh nhân được chữa khỏi bệnh” suy ra $ P\left ( { D } \right )=\frac { 1 } { 2 }\left ( { P\left ( { X } \right )+P\left ( { M } \right ) } \right )=0,65 $ Gọi $ E $là biến cố “bệnh nhân không bị tác dụng phụ nghiêm trọng” suy ra $ P\left ( { E } \right )=\frac { 1 } { 2 }\left ( { 0,95+0,9 } \right )=0,925 $. Vậy xác suất để bệnh nhân chữa khỏi bệnh và không bị tác dụng phụ nghiêm trọng là $ P\left ( { D∩E } \right )=P\left ( { D } \right ).P\left ( { E } \right )=0,60125 $