Cho hình vuông $ ABCD $ tâm $ O $ cạnh $ a $. Gọi $ M $ là trung điểm $ AB $, $ G $ là trọng tâm tam giác $ ADM $. Các khẳng định sau là đúng hay sai?

Xét tam giác $ ABC $ vuông tại $ B $ có: $ AC ^ { 2 } =AB ^ { 2 } +BC ^ { 2 } $ (định lý Pythagore). Suy ra $ AC ^ { 2 } =a ^ { 2 } +a ^ { 2 } =2a ^ { 2 } ⇒AC=a\sqrt[] { 2 } $. Do $ ABCD $ là hình vuông nên ta có $ AC=BD=a\sqrt[] { 2 } $ và $ AC⊥BD $. a) Sai. Ta có: $ \overset\rightarrow { AB }.\overset\rightarrow { CA }=\left | { \overset\rightarrow { AB } } \right |.\left | { \overset\rightarrow { CA } } \right |.\cos\left ( { \overset\rightarrow { AB },\overset\rightarrow { CA } } \right )=a.a\sqrt[] { 2 }.\cos135°=-a ^ { 2 } $. b) Sai. Ta có: $ \overset\rightarrow { AM }.\overset\rightarrow { AC }=\left | { \overset\rightarrow { AM } } \right |.\left | { \overset\rightarrow { AC } } \right |.\cos\left ( { \overset\rightarrow { AM },\overset\rightarrow { AC } } \right )=\frac { a } { 2 }.a\sqrt[] { 2 }.\cos45°=\frac { a ^ { 2 } } { 2 } $. c) Đúng. Ta có: $ \overset\rightarrow { AD }.\overset\rightarrow { BD }+\overset\rightarrow { OM }.\overset\rightarrow { AC }=\left | { \overset\rightarrow { AD } } \right |.\left | { \overset\rightarrow { BD } } \right |.\cos\left ( { \overset\rightarrow { AD },\overset\rightarrow { BD } } \right )+\left | { \overset\rightarrow { OM } } \right |.\left | { \overset\rightarrow { AC } } \right |.\cos\left ( { \overset\rightarrow { OM },\overset\rightarrow { AC } } \right ) $ $ =a.a\sqrt[] { 2 }.\cos45°+\frac { a } { 2 }.a\sqrt[] { 2 }.\cos135°=\frac { a ^ { 2 } } { 2 } $. d) Đúng. Ta có: $ \left ( { \overset\rightarrow { AB }+\overset\rightarrow { AD } } \right ).\left ( { \overset\rightarrow { BD }+\overset\rightarrow { BC } } \right )=\overset\rightarrow { AC }.\left ( { \overset\rightarrow { BD }+\overset\rightarrow { BC } } \right )=\overset\rightarrow { AC }.\overset\rightarrow { BD }+\overset\rightarrow { AC }.\overset\rightarrow { BC }=\left | { \overset\rightarrow { AC } } \right |.\left | { \overset\rightarrow { BC } } \right |.\cos\left ( { \overset\rightarrow { AC },\overset\rightarrow { BC } } \right ) $ $ =a\sqrt[] { 2 }.a.\cos45°=a ^ { 2 } $ ($ \overset\rightarrow { AC }.\overset\rightarrow { BD }=0 $ vì $ AC⊥BD $).