Cho hai dãy số $ (x_{ n } );(y_{ n } ) $ xác định: $ \left \{ \begin{array}{l} x_{ 1 } =\sqrt[] { 3 } \ y_{ 1 } =\sqrt[] { 3 } \end{array} ight. $ và $ \left \{ \begin{array}{l} x_{ n } =x_{ n-1 } +\sqrt[] { 1+x_{ n-1 } ^{ 2 } } \ y_{ n } =\frac { y_{ n-1 } } { 1+\sqrt[] { 1+y_{ n-1 } ^{ 2 } } } \end{array} ight. $, $ ∀n≥2 $. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Question

Cho hai dãy số $ (x_{ n } );(y_{ n } ) $ xác định: $ \left \{ \begin{array}{l} x_{ 1 } =\sqrt[] { 3 } \ y_{ 1 } =\sqrt[] { 3 } \end{array} ight. $ và $ \left \{ \begin{array}{l} x_{ n } =x_{ n-1 } +\sqrt[] { 1+x_{ n-1 } ^{ 2 } } \ y_{ n } =\frac { y_{ n-1 } } { 1+\sqrt[] { 1+y_{ n-1 } ^{ 2 } } } \end{array} ight. $, $ ∀n≥2 $. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Beedemy · Accepted Answer

D. $ 2 < x_{ n } y_{ n } < 3,{ m{ } }∀n≥2. $ Lời giải: Chọn D Ta có: $ x_{ 1 } =\sqrt[] { 3 }=\cot\frac { π } { 6 }⇒x_{ 2 } =\cot\frac { π } { 6 }+\sqrt[] { 1+\cot ^ { 2 } \frac { π } { 6 } }=\frac { \cos\frac { π } { 6 }+1 } { \sin\frac { π } { 6 } }=\cot\frac { π } { 2.6 } $ Bằng quy nạp ta chứng minh được:$ x_{ n } =\cot\frac { π } { 2 ^ { n-1 } .6 } $. Tương tự, ta cũng có: $ y_{ n } =	an\frac { π } { 2 ^ { n-1 } .3 } $ Đặt $ α_{ n } =\frac { π } { 2 ^ { n } .3 }⇒x_{ n } =\cotα_{ n } ;{ m{ } }y_{ n } =	an2α_{ n } ⇒x_{ n } .y_{ n } =	an2α_{ n } .\cotα_{ n } $ Đặt $ t=	anα_{ n } ⇒	an2α_{ n } .\cotα_{ n } =\frac { 2t } { 1-t ^ { 2 } }.\frac { 1 } { t }=\frac { 2 } { 1-t ^ { 2 } } $. Vì $ n≥2⇒0 < α_{ n } < \frac { π } { 6 }⇒0 < t < 	an\frac { π } { 6 }=\frac { 1 } { \sqrt[] { 3 } }⇒\frac { 2 } { 3 }≤1-t ^ { 2 } < 1 $ $ ⇒2 < \frac { 2 } { 1-t ^ { 2 } } < 3⇒2 < x_{ n } y_{ n } < 3,{ m{ } }∀n≥2 $.

Cùng dạng: Dãy số bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn