(THPT Yên Lạc - Vĩnh Phúc 2025) Cho tứ diện $ SABC $ có $ G $ là trọng tâm tam giác $ ABC $ và $ I $ là trọng tâm tam giác $ GBC $. Biết $ \overset\rightarrow { SI }=x\overset\rightarrow { SA }+y\overset\rightarrow { SB }+z\overset\rightarrow { SC } $, tính giá trị biểu thức $ 9\left ( { x-y+z } \right ) $

Do $ I $ là trọng tâm tam giác $ GBC $ nên ta có: $ \overset\rightarrow { SI }=\frac { 1 } { 3 }\left ( { \overset\rightarrow { SG }+\overset\rightarrow { SB }+\overset\rightarrow { SC } } \right )\,\,\,\,\,\,\,\left ( { 1 } \right ) $. Do $ G $ là trọng tâm tam giác $ ABC $ nên ta có: $ \overset\rightarrow { SG }=\frac { 1 } { 3 }\left ( { \overset\rightarrow { SA }+\overset\rightarrow { SB }+\overset\rightarrow { SC } } \right )\,\,\,\,\,\left ( { 2 } \right ) $. Thay $ \left ( { 2 } \right ) $ vào $ \left ( { 1 } \right ) $ ta có: $ \overset\rightarrow { SI }=\frac { 1 } { 3 }\left ( { \frac { 1 } { 3 }\left ( { \overset\rightarrow { SA }+\overset\rightarrow { SB }+\overset\rightarrow { SC } } \right )+\overset\rightarrow { SB }+\overset\rightarrow { SC } } \right )=\frac { 1 } { 9 }\overset\rightarrow { SA }+\frac { 4 } { 9 }\overset\rightarrow { SB }+\frac { 4 } { 9 }\overset\rightarrow { SC } $. Vậy $ \left \{ \begin{array}{l} x=\frac { 1 } { 9 } \\ y=\frac { 4 } { 9 } \\ z=\frac { 4 } { 9 } \end{array} \right.⇒9\left ( { x-y+z } \right )=1 $.