Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang ($AB \parallel CD$), cạnh $AB = 3a$, $AD = CD = a$. Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và $SA = 2a$. Mặt phẳng $(P)$ song song với $SA, AB$ cắt các cạnh $AD, BC, SC, SD$ theo thứ tự tại $M, N, P, Q$. Đặt $AM = x$ ($0 < x < a$). Gọi $x$ là giá trị để tứ giác $MNPQ$ ngoại tiếp được đường tròn, bán kính đường tròn đó là

Chọn B. Ta có: * $(P) \parallel SA \Rightarrow MQ \parallel SA$ * $(P) \parallel AB \Rightarrow MN \parallel AB$ * $(P) \parallel AB \Rightarrow (P) \parallel CD \Rightarrow PQ \parallel CD \Rightarrow PQ \parallel MN$ Suy ra tứ giác $MNPQ$ là hình thang. Vì $(P) \parallel SA$ và $(P) \parallel AB \Rightarrow (P) \parallel (SAB) \Rightarrow PN \parallel SB \Rightarrow \frac{PN}{SB} = \frac{CN}{CB}$. Mặt khác, $MQ \parallel SA \Rightarrow \frac{MQ}{SA} = \frac{DM}{DA}$. Mà $MN \parallel AB \Rightarrow \frac{DM}{DA} = \frac{CN}{CB} \Rightarrow \frac{PN}{SB} = \frac{QM}{SA} \Rightarrow PN = QM$. Do đó $MNPQ$ là hình thang cân. Từ $MQ \parallel SA \Rightarrow \frac{MQ}{SA} = \frac{DM}{DA} = \frac{a - x}{a} \Rightarrow MQ = 2(a - x)$. Từ $PQ \parallel CD \Rightarrow \frac{PQ}{CD} = \frac{SQ}{SD} = \frac{AM}{AD} = \frac{x}{a} \Rightarrow PQ = x$. Gọi $E = MN \cap BD \Rightarrow \frac{ME}{AB} = \frac{DM}{DA} = \frac{a - x}{a} \Rightarrow ME = 3(a - x)$. Lại có $MN \parallel AB \parallel CD \Rightarrow MN = CD + \frac{DM}{DA}(AB - CD) = a + \frac{a-x}{a}\cdot 2a = 3a - 2x$. Tứ giác $MNPQ$ ngoại tiếp được đường tròn khi và chỉ khi tổng hai cạnh đối bằng nhau: $MN + PQ = MQ + NP$. Mà $MQ = NP = 2(a - x)$ nên $(3a - 2x) + x = 2(a - x) + 2(a - x) \Rightarrow 3a - x = 4a - 4x \Rightarrow 3x = a \Rightarrow x = \frac{a}{3}$. Khi đó $MQ = NP = \frac{4a}{3}$, $PQ = \frac{a}{3}$, $MN = \frac{7a}{3}$. Vì $MNPQ$ là hình thang cân ngoại tiếp đường tròn nên bán kính đường tròn nội tiếp $r = \frac{h}{2}$, với $h$ là chiều cao hình thang. Ta có $h^2 = MQ^2 - \left(\frac{MN - PQ}{2}\right)^2 = \left(\frac{4a}{3}\right)^2 - a^2 = \frac{7a^2}{9} \Rightarrow h = \frac{a\sqrt{7}}{3}$. Vậy $r = \frac{a\sqrt{7}}{6}$.