Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác $\triangle ABC$ vuông tại $A$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt đáy, $SA = 2, AB = 1, AC = \sqrt{2}$. $M$ là điểm nằm trên cạnh $SB$ sao cho $SM = 2MB$. Gọi mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M$ và song song với $SA$ và $BC$. Tính diện tích thiết diện của $(\alpha)$ và hình chóp (làm tròn đến hàng phần trăm).

Lời giải Gọi $N = AB \cap (\alpha)$, $Q = SC \cap (\alpha)$, $P = AC \cap (\alpha)$. Ta có $MN \parallel SA$, $NP \parallel BC$ nên $MN \perp NP$. Do đó thiết diện của $(\alpha)$ và hình chóp là hình chữ nhật $MNPQ$. Xét tam giác $SAB$ có $MN \parallel SA$, ta có: $$ \frac{MN}{SA} = \frac{BM}{BS} = \frac{1}{3} \Rightarrow MN = \frac{2}{3} $$ Xét tam giác $SBC$ có $MQ \parallel BC$, ta có: $$ \frac{MQ}{BC} = \frac{SM}{SB} = \frac{2}{3} \Rightarrow MQ = \frac{2}{3}BC $$ Mà đáy $\triangle ABC$ vuông tại $A$ nên $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{1 + 2} = \sqrt{3}$. Suy ra $MQ = \frac{2\sqrt{3}}{3}$. Diện tích thiết diện hình chữ nhật $MNPQ$ bằng: $$ S = MN \cdot MQ = \frac{2}{3} \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{9} \approx 0,77 $$ Vậy diện tích thiết diện cần tìm là $0,77$.