Cho tứ diện $ ABCD $ có $ AB $ vuông góc với $ CD $, $ AB=CD=6 $. $ M $ là điểm thuộc cạnh $ BC $ sao cho $ MC=x.BC{ \rm{ mp } }\left ( { P } \right ) $ song song với $ AB $ và $ CD $ lần lượt cắt $ BC,DB,AD,AC $ tại $ M,N,P,Q $. Diện tích lớn nhất của tứ giác bằng bao nhiêu ?

Question

Beedemy · Accepted Answer

B. $ 9 $. Lời giải: Chọn B Xét tứ giác $ MNPQ $ có $ \left \{ \begin{array}{l} MQ{ m{ // } }NP{ m{ // } }AB \ MN{ m{ // } }PQ{ m{ // } }CD \end{array} ight. $ $ ⇒MNPQ $ là hình bình hành. Mặt khác, $ AB⊥CD⇒MQ⊥MN $. Do đó, $ MNPQ $ là hình chữ nhật. Vì $ MQ{ m{ // } }AB $ nên $ \frac { MQ } { AB }=\frac { CM } { CB }=x⇒MQ=x.AB=6x $. Theo giả thiết $ MC=x.BC⇒BM=\left ( { 1-x } ight )BC $. Vì $ MN{ m{ // } }CD $ nên $ \frac { MN } { CD }=\frac { BM } { BC }=1-x⇒MN=\left ( { 1-x } ight ).CD=6\left ( { 1-x } ight ) $. Diên tích hình chữ nhật $ MNPQ $ là $ S_{ MNPQ } =MN.MQ=6\left ( { 1-x } ight ).6x=36.x.\left ( { 1-x } ight )≤36\left ( { \frac { x+1-x } { 2 } } ight ) ^ { 2 } =9 $. Ta có $ S_{ MNPQ } =9 $ khi $ x=1-x⇔x=\frac { 1 } { 2 } $ Vậy diện tích tứ giác $ MNPQ $ lớn nhất bằng 9 khi $ M $ là trung điểm của $ BC $.

Cùng dạng: Bài toán thiết diện trong hình chóp, lăng trụ liên quan đến đường thẳng song song mặt phẳng