Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AD$ và $G$ là trung điểm $SO$. Mặt phẳng $(MNG)$ cắt $SC$ tại điểm $H$. Biết $HC = k \cdot HS$, $k \in \mathbb{N}$. Tìm giá trị của $k$.

Lời giải Trong mặt phẳng $(ABCD)$, gọi $\{E\} = MN \cap AC$. Trong mặt phẳng $(SAC)$, gọi $\{H\} = EG \cap SC$, ta có $\{H\} = SC \cap (MNG)$. Xét $\triangle ABD$ có $MN$ là đường trung bình $\Rightarrow E$ là trung điểm của $AO$. Có $EG$ là đường trung bình của tam giác $SAO \Rightarrow EG \parallel SA$. Từ đó suy ra: $$ \frac{SH}{SC} = \frac{AE}{AC} = \frac{1}{4} $$ Vậy $HC = 3 \cdot HS$. Do đó $k = 3$.