Cho biết $ \lim\limits_{ x→+∞ } \left ( { \sqrt[] { x ^ { 2 } +ax }+bx } \right )=2 $, tính giá trị biểu thức $ P=a+2b $.

Do $ \lim\limits_{ x→+∞ } \left ( { \sqrt[] { x ^ { 2 } +ax }+bx } \right )=2 $ là một số hữu hạn, nên $ b=-1 $. Khi đó ta có: $ \lim\limits_{ x→+∞ } \left ( { \sqrt[] { x ^ { 2 } +ax }+bx } \right )=\lim\limits_{ x→+∞ } \left ( { \sqrt[] { x ^ { 2 } +ax }-x } \right ) $ $ =\lim\limits_{ x→+∞ } \frac { ax } { \sqrt[] { x ^ { 2 } +ax }+x }=\lim\limits_{ x→+∞ } \frac { ax } { x\left ( { \sqrt[] { 1+\frac { a } { x } }+1 } \right ) }=\frac { a } { 2 } $. Theo giả thiết ta có $ \frac { a } { 2 }=2⇒a=4 $. Vậy $ \left \{ \begin{array}{l} a=4 \\ b=-1 \end{array} \right.⇒P=a+2b=2. $