Tìm hệ số của $x^4$ trong khai triển $P(x) = (1 - x - 3x^3)^n$ với $n = 10$.

Question

Beedemy · Accepted Answer

C. 480 Lời giải: Với $n = 10$, ta có $P(x) = [1 - (x + 3x^3)]^{10} = \sum_{k=0}^{10} C_{10}^k (-1)^k (x + 3x^3)^k$. Mặt khác: $(x + 3x^3)^k = x^k (1 + 3x^2)^k = x^k \sum_{l=0}^k C_k^l (3x^2)^l = \sum_{l=0}^k C_k^l 3^l x^{k+2l}$. Số hạng chứa $x^4$ trong khai triển tương ứng với cặp số nguyên $(k, l)$ thỏa mãn: $\left\{\begin{array}{l} k + 2l = 4 \ 0 \le k \le 10 \ 0 \le l \le k \end{array}ight. \Leftrightarrow (k; l) \in \{(4; 0), (2; 1)\}$. - Với $(k; l) = (4; 0)$, hệ số là: $C_{10}^4 (-1)^4 C_4^0 3^0 = C_{10}^4 C_4^0 = 210$. - Với $(k; l) = (2; 1)$, hệ số là: $C_{10}^2 (-1)^2 C_2^1 3^1 = C_{10}^2 C_2^1 \cdot 3 = 270$. Vậy hệ số của số hạng chứa $x^4$ trong khai triển là $C_{10}^4 C_4^0 + C_{10}^2 C_2^1 \cdot 3 = 480$.

Tìm hệ số của $x^4$ trong khai triển $P(x) = (1 - x - 3x^3)^n$ với $n = 10$.

Cùng dạng: Tìm hệ số của số hạng chứa x^k trong khai triển