Trong không gian với hệ tọa độ $ Oxyz $, cho hình vuông $ ABCD $ biết $ A\left ( { 1;0;1 } \right ) $, $ B\left ( { 1;0;-3 } \right ) $ và điểm $ D $ có hoành độ âm. Mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ) $ đi qua gốc tọa độ $ O $. Khi đó đường thẳng $ d $ đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông $ ABCD $ và vuông góc với mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ) $ có phương trình

Ta có $ \overset\rightarrow { AB }=\left ( { 0;0;-4 } \right )=-4\left ( { 0;0;1 } \right ) $. Hay $ AB $ có véc-tơ chỉ phương $ \overset\rightarrow { k }=\left ( { 0;0;1 } \right ) $. Mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ) $ có một véc-tơ pháp tuyến: $ \left[ \overset\rightarrow { OA };\overset\rightarrow { OB } \right]=\left ( { 0;4;0 } \right )=4\left ( { 0;1;0 } \right ) $, hay $ \overset\rightarrow { j }=\left ( { 0;1;0 } \right ) $ là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ) $. Vì $ \left \{ \begin{array}{l} AD⊥AB \\ AD⊂\left ( { ABCD } \right ) \end{array} \right. $ nên $ \left \{ \begin{array}{l} \overset\rightarrow { AD }⊥\overset\rightarrow { k } \\ \overset\rightarrow { AD }⊥\overset\rightarrow { j } \end{array} \right. $. Đường thẳng $ AD $ có véc-tơ chỉ phương là $ \left[ \overset\rightarrow { j };\overset\rightarrow { k } \right]=\left ( { 1;0;0 } \right ) $. Phương trình đường thẳng $ AD $ là: $ \left \{ \begin{array}{l} x=1+t \\ y=0 \\ z=1 \end{array} \right. $. Do đó $ D\left ( { 1+t;0;1 } \right ) $. Mặt khác $ AD=AB⇔\sqrt[] { t ^ { 2 } +0 ^ { 2 } +\left ( { 1-1 } \right ) ^ { 2 } }=4⇔\left[ \begin{array}{l} t=4 \\ t=-4 \end{array} \right. $. Vì điểm $ D $ có hoành độ âm nên $ D\left ( { -3;0;1 } \right ) $. Vì tâm $ I $ của hình vuông $ ABCD $ là trung điểm $ BD $, nên $ I\left ( { -1;0;-1 } \right ) $. Đường thẳng $ d $ đi qua I, có véc-tơ pháp tuyến là $ \overset\rightarrow { j }=\left ( { 0;1;0 } \right ) $, nên phương trình đường thẳng $ d $ là: $ d:\left \{ \begin{array}{l} x=-1 \\ y=t \\ z=-1 \end{array} \right. $.