Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = a$, $AD = 2a$. Ba cạnh $SA$, $AB$, $AD$ đôi một vuông góc và $SA = 2a$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $SD$, $BC$. Gọi $\alpha$ là góc giữa $AM$ và $SN$. Tính $\cos\alpha$.

Lời giải Ta có $BN = \frac{1}{2}BC = a$. Suy ra: $$ AN = \sqrt{AB^{2} + BN^{2}} = a\sqrt{2} \Rightarrow SN = \sqrt{SA^{2} + AN^{2}} = a\sqrt{6} $$ $$ AM = \frac{1}{2}SD = \frac{1}{2}\sqrt{SA^{2} + AD^{2}} = a\sqrt{2} $$ Lại có: $$ \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{SN} = \frac{1}{2}\Big(\overrightarrow{AS} + \overrightarrow{AD}\Big) \cdot \Big(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AN}\Big) = \frac{1}{2}\Big(\overrightarrow{AS} \cdot \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AS} \cdot \overrightarrow{AN} + \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AN}\Big) $$ Ta có: $$ \overrightarrow{AS} \cdot \overrightarrow{SA} = -SA^{2} = -4a^{2} $$ $$ \overrightarrow{AS} \cdot \overrightarrow{AN} = \frac{AS^{2} + AN^{2} - SN^{2}}{2} = 0 $$ $$ \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{SA} = 0 $$ (vì $SA \perp AD$). $$ \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AN} = \frac{AD^{2} + AN^{2} - ND^{2}}{2} = \frac{(2a)^{2} + (a\sqrt{2})^{2} - (a\sqrt{2})^{2}}{2} = 2a^{2} $$ Suy ra: $$ \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{SN} = \frac{1}{2}\Big(-4a^{2} + 0 + 0 + 2a^{2}\Big) = -a^{2} $$ Vậy $\cos\alpha = \dfrac{\left|\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{SN}\right|}{AM \cdot SN} = \dfrac{a^{2}}{a\sqrt{2} \cdot a\sqrt{6}} = \dfrac{1}{2\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{6}$.