Trong các dãy số $(u_{n})$ cho bởi số hạng tổng quát $u_{n}$ sau, dãy số nào tăng?

Lời giải Chọn C. Ta xét đáp án A: $u_{n} = \frac{n}{2^{n}}$. $$ \begin{cases} u_{1} = \frac{1}{2} \\ u_{2} = \frac{2}{4} \end{cases} \Rightarrow u_{1} = u_{2} \Rightarrow \text{Loại A} $$ Ta xét đáp án B: $u_{n} = \frac{n}{2n^{2} + 1}$. $$ \begin{cases} u_{1} = \frac{1}{3} \\ u_{2} = \frac{2}{9} \end{cases} \Rightarrow u_{1} > u_{2} \Rightarrow \text{Loại B} $$ Ta xét đáp án C: $u_{n} = \frac{n^{2} + 1}{3n + 2}$. $$ \begin{cases} u_{1} = \frac{2}{5} = \frac{16}{40} \\ u_{2} = \frac{5}{8} = \frac{25}{40} \end{cases} \Rightarrow u_{1} < u_{2} \Rightarrow \text{Xét tiếp} $$ Ta xét đáp án D: $u_{n} = (-2)^{n}\sqrt{n^{2} - 1}$. $$ \begin{cases} u_{1} = 0 \\ u_{2} = 4\sqrt{3} \\ u_{3} = -8\sqrt{8} \end{cases} \Rightarrow u_{1} < u_{2} > u_{3} \Rightarrow \text{Loại D} $$ Có thể dùng Table trong Casio để nhập hàm rồi loại trừ với Start 1; End 20; Step 1. Chú ý: Nếu bài này mà giải theo tự luận thì rất dài, ta phải xét hiệu $u_{n+1} - u_{n}$ của 4 dãy số.