(Sở Kiên Giang 2025) Trong không gian $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ có $A(3; 3; 9)$, $B(-1; 1; 6)$, $C(2; 1; 0)$, $D(-3; 6; 0)$. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(BCD)$.

Lời giải Ta có: $$ \vec{BC} = (3; 0; -6), \quad \vec{BD} = (-2; 5; -6) $$ $$ \vec{n} = [\vec{BC}, \vec{BD}] = (30; 30; 15) $$ Chọn vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(BCD)$ là $\vec{n'} = (2; 2; 1)$. Phương trình mặt phẳng $(BCD)$ đi qua $D(-3; 6; 0)$ là: $$ 2(x + 3) + 2(y - 6) + 1(z - 0) = 0 \Leftrightarrow 2x + 2y + z - 6 = 0 $$ Khoảng cách từ điểm $A(3; 3; 9)$ đến mặt phẳng $(BCD)$ là: $$ d(A; (BCD)) = \frac{|2(3) + 2(3) + 9 - 6|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2}} = \frac{|6 + 6 + 9 - 6|}{\sqrt{9}} = \frac{15}{3} = 5 $$