(Sở Ninh Bình 2025) Trong hệ toạ độ $Oxyz$ (đơn vị độ dài trên mỗi trục tính là mét), một vườn hoa nằm trên mặt phẳng $(P): 2x + 2y - z - 12 = 0$. Có hai bóng đèn chiếu sáng cố định được đặt tại các điểm $A(40; -40; 12)$, $B(-40; 50; 38)$. Để đảm bảo kĩ thuật chiếu sáng, các kỹ sư muốn thiết kế trên mặt vườn một đường ray để lắp đặt một đèn chiếu sáng $M$ di động trên đường ray ấy. Yêu cầu kĩ thuật đặt ra là góc tạo bởi $MA$ với mặt vườn và góc tạo bởi $MB$ với mặt vườn phải luôn bằng nhau. Độ dài đường ray là bao nhiêu mét? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Lời giải Gọi $A_1, B_1$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A, B$ lên mặt phẳng $(P)$. Khi đó yêu cầu bài toán đặt ra là $\widehat{AMA_1} = \widehat{BMB_1}$. Ta có: $$ \tan\widehat{AMA_1} = \tan\widehat{BMB_1} \Rightarrow \frac{MA_1}{MB_1} = \frac{AA_1}{BB_1} = \frac{d(A, (P))}{d(B, (P))} = \frac{4}{5} $$ Xét điểm $I, J$ thỏa mãn: $$ \begin{cases} \vec{IA_1} = -\frac{4}{5}\vec{IB_1} \\ \vec{JA_1} = \frac{4}{5}\vec{JB_1} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} I, J \in (P) \\ \widehat{IMJ} = 90^\circ \end{cases} $$ Suy ra $M$ thuộc đường tròn đường kính $IJ$. Mặt khác ta có: $$ \begin{cases} AA_1 = 8 \\ BB_1 = 10 \\ AB = \sqrt{15176} \end{cases} \Rightarrow A_1B_1 = \sqrt{15172} \Rightarrow IJ = \frac{40\sqrt{15172}}{9} $$ Vậy điểm $M$ chuyển động trên đường tròn đường kính bằng $\frac{20\sqrt{15172}}{9}$. Độ dài của đường ray là: $$ 2\pi \cdot \frac{20\sqrt{15172}}{9} \approx 1720 \text{ (m)} $$