Trong không gian với hệ tọa độ $ Oxyz $, cho ba điểm $ A\left ( { -1;2;5 } \right ) $, $ B\left ( { 3;-1;0 } \right ) $, $ C\left ( { -4;0;-2 } \right ) $. Gọi $ I $ là điểm trên mặt phẳng $ \left ( { Oxy } \right ) $ sao cho biểu thức $ \left | { \overset\rightarrow { IA }-2\overset\rightarrow { IB }+3\overset\rightarrow { IC } } \right | $ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính khoảng cách từ $ I $ đến mặt phẳng $ \left ( { P } \right ):4x+3y+2=0 $.

Gọi $ M\left ( { a;b;c } \right ) $ là điểm thỏa mãn $ \overset\rightarrow { MA }-2\overset\rightarrow { MB }+3\overset\rightarrow { MC }=\overset\rightarrow { 0 } $. Khi đó: $ \left \{ \begin{array}{l} -1-a-2\left ( { 3-a } \right )+3\left ( { -4-a } \right )=0 \\ 2-b-2\left ( { -1-b } \right )+3\left ( { 0-b } \right )=0 \\ 5-c-2\left ( { 0-c } \right )+3\left ( { -2-c } \right )=0 \end{array} \right. ⇔\left \{ \begin{array}{l} a=-\frac { 19 } { 2 } \\ b=2 \\ c=-\frac { 1 } { 2 } \end{array} \right. ⇔M\left ( { -\frac { 19 } { 2 };2;-\frac { 1 } { 2 } } \right ) $. Ta có: $ \left | { \overset\rightarrow { IA }-2\overset\rightarrow { IB }+3\overset\rightarrow { IC } } \right | =\left | { \overset\rightarrow { IM }+\overset\rightarrow { MA }-2\overset\rightarrow { IM }-2\overset\rightarrow { MB }+3\overset\rightarrow { IM }+3\overset\rightarrow { MC } } \right | $ $ =\left | { 2\overset\rightarrow { IM }+\left ( { \overset\rightarrow { MA }-2\overset\rightarrow { MB }+3\overset\rightarrow { MC } } \right ) } \right | $$ =2\left | { \overset\rightarrow { IM } } \right |=2IM $. Biểu thức $ \left | { \overset\rightarrow { IA }-2\overset\rightarrow { IB }+3\overset\rightarrow { IC } } \right | $ đạt giá trị nhỏ nhất $ ⇔IM $ nhỏ nhất $ ⇔ $$ I $ là hình chiếu vuông góc của $ M $ lên $ \left ( { Oxy } \right ) $$ ⇔I\left ( { -\frac { 19 } { 2 };2;0 } \right ) $. Khoảng cách từ điểm $ I $ đến mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $ là: $ d\left ( { I;\left ( { P } \right ) } \right )=\frac { \left | { 4.\left ( { -\frac { 19 } { 2 } } \right )+3.2+2 } \right | } { \sqrt[] { 4 ^ { 2 } +3 ^ { 2 } } }=6 $.