Một công trình đang xây dựng được gắn hệ trục $ Oxyz $ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Ba bức tường lần lượt thuộc các mặt phẳng $ \left ( { P } \right ),\,\,\left ( { Q } \right ),\,\,\left ( { R } \right ) $ (như hình vẽ) của tòa nhà lần lượt có phương trình: $ \left ( { P } \right ):2x+2y-4z+15=0 $, $ \left ( { Q } \right ):x+y+z-12=0 $, $ \left ( { R } \right ):x+y-2z=0 $. Độ rộng của bức tường thuộc mặt phẳng $ \left ( { Q } \right ) $ của tòa nhà bằng bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng phần chục).

Ta có: $ \left ( { P } \right ):2x+2y-4z+15=0 $ có vectơ pháp tuyến là $ n_{ P } =\left ( { 2;2;-4 } \right ) $. $ \left ( { Q } \right ):x+y+z-12=0 $ có vectơ pháp tuyến là $ n_{ Q } =\left ( { 1;1;1 } \right ) $. $ \left ( { R } \right ):x+y-2z=0 $ có vectơ pháp tuyến là $ n_{ R } =\left ( { 1;1;-2 } \right ) $. Ta có: $ n_{ P } =2n_{ R } ;\,\,\frac { 1 } { 2 }=\frac { 1 } { 2 }=\frac { -2 } { -4 }\neq \frac { 0 } { 15 } $ nên hai bức tường $ \left ( { P } \right ) $ và $ \left ( { R } \right ) $ song song với nhau. $ n_{ R } .n_{ Q } =1.1+1.1+\left ( { -2 } \right ).1⇒n_{ R } ⊥n_{ Q } $ nên bức tường $ \left ( { Q } \right ) $ vuông góc với hai bức tường $ \left ( { P } \right ) $ và $ \left ( { R } \right ) $. Chọn điểm $ O\left ( { 0;0;0 } \right )\in \left ( { R } \right ) $. Do hai bức tường $ \left ( { P } \right ) $ và $ \left ( { R } \right ) $ song song nhau nên: $ d\left ( { \left ( { P } \right ),\left ( { R } \right ) } \right )=d\left ( { O,\left ( { P } \right ) } \right )=\frac { \left | { 2.0+2.0-4.0+15 } \right | } { \sqrt[] { 2 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } +\left ( { -4 } \right ) ^ { 2 } } }=\frac { 5\sqrt[] { 6 } } { 4 }≈3,1 $ m. Vậy độ rộng bức tường $ \left ( { Q } \right ) $ của tòa nhà là $ 3,1\,m $.