Trong không gian $ Oxyz $, cho tứ diện $ ABCM $ với $ A(2;1;3),B(1;-1;2),C(3;-6;1) $. Điểm $ M(x;y;z) $ thuộc mặt phẳng $ (Oyz) $ sao cho $ MA ^ { 2 } +MB ^ { 2 } +MC ^ { 2 } $ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $ T=x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } $.

Gọi $ I(x;y;z) $ là điểm thỏa mãn $ \overset\rightarrow { IA }+\overset\rightarrow { IB }+\overset\rightarrow { IC }=0 $. $ \overset\rightarrow { IA }=(2-x;1-y;3-z),\overset\rightarrow { IB }=(1-x;-1-y;2-z),\overset\rightarrow { IC }=(3-x;-6-y;1-z) $ Ta có $ \overset\rightarrow { IA }+\overset\rightarrow { IB }+\overset\rightarrow { IC }=0⇔\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} 2-x+1-x+3-x=0 \\ 1-y-1-y-6-y=0 \\ 3-z+2-z+1-z=0 \\ \end{array} \end{array} \right. ⇔\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=2 \\ y=-2 \\ z=2 \\ \end{array} ⇔I(2;-2;2) \end{array} \right. $ Vì $ MA ^ { 2 } +MB ^ { 2 } +MC ^ { 2 } $ $ =(\overset\rightarrow { MI }+\overset\rightarrow { IA }) ^ { 2 } +(\overset\rightarrow { MI }+\overset\rightarrow { IB }) ^ { 2 } +(\overset\rightarrow { MI }+\overset\rightarrow { IC }) ^ { 2 } \\ =3MI ^ { 2 } +IA ^ { 2 } +IB ^ { 2 } +IC ^ { 2 } +2\overset\rightarrow { MI }⋅(\overset\rightarrow { IA }+\overset\rightarrow { IB }+\overset\rightarrow { IC })=3MI ^ { 2 } +IA ^ { 2 } +IB ^ { 2 } +IC ^ { 2 } $ nên $ MA ^ { 2 } +MB ^ { 2 } +MC ^ { 2 } $ đạt giá trị nhỏ nhất $ ⇔MI $ nhỏ nhất $ ⇔M $ là hình chiếu của $ I $ lên $ (Oyz)⇔M(0;-2;2) $. Suy ra $ T=x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } =8 $. Đáp án: 8.