(Cụm Ninh Giang - Tứ Kỳ - Gia Lộc 2025) Trong không gian ba chiều $ Oxyz $, tọa độ các khu vực được xác định như sau: Khu vục $ A\left ( { 30;20;0 } \right ) $nằm trên mặt đất, cách trung tâm thành phố $ 3\,km $. Khu vục $ B\left ( { 70;50;40 } \right ) $nằm trên tòa nhà cao tầng và ở độ cao $ 40\,m $. Khu vục $ C\left ( { 50;80;70 } \right ) $nằm trên một đỉnh đồi ở độ cao $ 70m $. Gọi vị trí lắp đặt trạm phát sóng là $ D\left ( { a;b;c } \right ) $ sao cho khoảng cách từ $ D $ đến ba khu vực kể trên là bằng nhau và có khoảng cách đến chúng là nhỏ nhất. Tính $ T=a+b+c $(Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Do $ D\left ( { a;b;c } \right ) $ sao cho khoảng cách từ $ D $ đến ba khu vực kể trên là bằng nhau và có khoảng cách đến chúng là nhỏ nhất nên $ D $là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ ΔABC $. Có $ \left \{ \begin{array}{l} \frac { 1 } { 10 }\overset→ { AB }=\frac { 1 } { 10 }.\left ( { 40;30;40 } \right )=\left ( { 4;3;4 } \right ) \\ \frac { 1 } { 10 }\overset→ { AC }=\frac { 1 } { 10 }.\left ( { 20;60;70 } \right )=\left ( { 2;6;7 } \right ) \end{array} \right.⇒\left[ \frac { 1 } { 10 }\overset→ { AB },\frac { 1 } { 10 }\overset→ { AC } \right]=\left ( { -3;-20;18 } \right ) $ Chọn vecto pháp tuyến của $ \left ( { ABC } \right ) $ là $ \overset→ { n }=\left ( { 3;20;-18 } \right ) $, nên PTMP $ \left ( { ABC } \right ) $ là: $ 3x+20y-18z-490=0⇒3a+20b-18c-490=0 $. Do $ D\left ( { a;b;c } \right ) $ cách đều $ A;B;C $ $ ⇒\left \{ \begin{array}{l} AD ^ { 2 } =BD ^ { 2 } \\ AD ^ { 2 } =CD ^ { 2 } \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} \left ( { a-30 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { b-20 } \right ) ^ { 2 } +c ^ { 2 } =\left ( { a-70 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { b-50 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { c-40 } \right ) ^ { 2 } \\ \left ( { a-30 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { b-20 } \right ) ^ { 2 } +c ^ { 2 } =\left ( { a-50 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { b-80 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { c-70 } \right ) ^ { 2 } \end{array} \right. $ $ ⇔\left \{ \begin{array}{l} 80a+60b+80c=7700 \\ 40a+120b+140c=12500 \end{array} \right. $. Vậy $ a;b;c $ thỏa mãn $ \left \{ \begin{array}{l} 80a+60b+80c=7700 \\ 40a+120b+140c=12500 \\ 3a+20b-18c=490 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} a=\frac { 13200 } { 733 } \\ b=\frac { 40355 } { 733 } \\ c=\frac { 27085 } { 733 } \end{array} \right. $ $ ⇒D\left ( { \frac { 13200 } { 733 };\frac { 40355 } { 733 };\frac { 27085 } { 733 } } \right ) $ nên $ T=a+b+c=\frac { 13200 } { 733 }+\frac { 40355 } { 733 }+\frac { 27085 } { 733 }=\frac { 80640 } { 733 }≈110 $.