Đúng/Sai · Câu 15
Một công trình đang xây dựng được gắn hệ trục $ Oxyz $ (đơn vị trên mỗi trục là mét). Bốn bức tường $ (P),(Q),(R),(T) $ của toà nhà lần lượt nằm trên các mặt phẳng có phương trình: $ \left ( { P } \right ):{ \rm{ } }2x-y-z+1=0,\left ( { Q } \right ):{ \rm{ } }x+3y-z-2=0,\left ( { R } \right ):{ \rm{ } }4x-2y-2z+9=0,\left ( { T } \right ):{ \rm{ } }2x+6y-2z+15=0{ \rm{ } }. $
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Sai
- b. Đúng
- c. Sai
- d. Sai
Lời giải
a) Sai. - Ta có $ \overset\rightarrow { n_{ P } }=(2;-1;-1),\overset\rightarrow { n_{ T } }=(2;6;-2)⇒\overset\rightarrow { n_{ P } }⋅\overset\rightarrow { n_{ T } }=0 $.
Suy ra mặt phẳng $ (P) $ vuông góc với mặt phẳng $ (T) $.
b) Đúng. - Ta có $ \overset\rightarrow { n_{ R } }=(4;-2;-2),\overset\rightarrow { n_{ Q } }=(1;3;-1)⇒\overset\rightarrow { n_{ R } }⋅\overset\rightarrow { n_{ Q } }=0 $.
Suy ra mặt phẳng $ (R) $ vuông góc với mặt phẳng $ (Q) $.
c) Sai. - Chọn điểm $ M(2;0;0)\in (Q) $.
Ta có $ \overset\rightarrow { n_{ T } }=2\overset\rightarrow { n_{ Q } } $ nên hai bức tường $ (Q) $ và $ (T) $ song song với nhau.
Do đó $ d((Q),(T))=d(M,(T))=\frac { \|2.2+6.0-2.0+15\| } { \sqrt[] { 4+36+4 } }=\frac { 19 } { 2\sqrt[] { 11 } }≈2,9( m) $
Khoảng cách giữa hai bức tường $ (Q) $ và $ (T) $ là $ 2,9 m $.
d) Sai. - Chọn điểm $ N(0;0;1)\in (P) $.
Ta có $ \overset\rightarrow { n_{ R } }=2\overset\rightarrow { n_{ P } } $ nên hai bức tường $ (P) $ và $ (R) $ song song với nhau. Do đó chiều rộng bức tường $ (Q) $ là khoảng cách giữa hai bức tường $ (P) $ và $ (R) $.
Suy ra $ d((P),(R))=d(N,(R))=\frac { \|4⋅0-2⋅0-2⋅1+9\| } { \sqrt[] { 4+1+1 } }=\frac { 7 } { \sqrt[] { 6 } }≈2,9( m) $.
Chiều rộng bức tường $ (Q) $ của toà nhà là $ 2,9 m $.