Trong không gian $ Oxyz $ cho $ A\left ( { 2;0;0 } \right ),B\left ( { 0;4;0 } \right ),C\left ( { 0;0;6 } \right ),D\left ( { 2;4;6 } \right ) $. Gọi $ \left ( { P } \right ) $ là mặt phẳng song song với $ mp\left ( { ABC } \right ) $, $ \left ( { P } \right ) $ cách đều $ D $ và mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $. Phương trình của $ \left ( { P } \right ) $ là $ ax+by+4z+c=0 $. Giá trị của $ 2a-4b+c $ là

Phương trình mặt phẳng$ \left ( { ABC } \right ):\frac { x } { 2 }+\frac { y } { 4 }+\frac { z } { 6 }=1\Leftrightarrow 6x+3y+2z-12=0 $. Do $ \left ( { P } \right ){ \rm{ // } }\left ( { ABC } \right )\Rightarrow \left ( { P } \right ):6x+3y+2z+m=0\,\,\left ( { m\neq -12 } \right ) $. Theo giả thiết $ \left ( { P } \right ) $ cách đều $ D $ và mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right )\Rightarrow d\left ( { D,\left ( { P } \right ) } \right )=d\left ( { A,\left ( { P } \right ) } \right ) $ $ \Leftrightarrow \frac { \left | { 6.2+3.4+2.6+m } \right | } { \sqrt[] { 6 ^ { 2 } +3 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } } }=\frac { \left | { 6.2+3.0+2.0+m } \right | } { \sqrt[] { 6 ^ { 2 } +3 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } } } \\ \Leftrightarrow \left | { 36+m } \right |=\left | { 12+m } \right |\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 36+m=12+m \\ 36+m=-12-m \end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow m=-24 $ (nhận). Phương trình của $ \left ( { P } \right ) $ là $ 6x+3y+2z-24=0\Leftrightarrow 12x+6y+4z-48=0 $. Suy ra $ a=12;b=6;c=-48 $ Vây $ 2a-4b+c=2.12-4.6-48=-48 $