Rút gọn biểu thức $M = 4\log_{\sqrt{3}}\sqrt{x} - 6\log_9(3x) + \log_{\frac{1}{3}}\frac{x}{9}$ (giả thiết biểu thức trên có nghĩa).

Lời giải Ta có: $$ M = 4\log_{\sqrt{3}}\sqrt{x} - 6\log_9(3x) + \log_{\frac{1}{3}}\frac{x}{9} $$ $$ = 4\log_{3^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} - 6\log_{3^2}(3x) + \log_{3^{-1}}\frac{x}{9} $$ $$ = 4\log_3 x - 3(1 + \log_3 x) - (\log_3 x - 2) $$ $$ = 4\log_3 x - 3 - 3\log_3 x - \log_3 x + 2 = -1. $$