Cho phương trình $\sin x - \sqrt{3} \cos x = m$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Đúng Lời giải Ta có: $$ \sin x - \sqrt{3} \cos x = 2\left(\frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right) = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) $$ Xét khẳng định a: Khi $m=0$, ta có phương trình: $$ \sin x - \sqrt{3} \cos x = 0 \Leftrightarrow \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = 0 \Leftrightarrow x - \frac{\pi}{3} = k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) $$ $$ \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{3} + k\pi $$ Vì $x \in (0;\pi) \Leftrightarrow 0 < \frac{\pi}{3} + k\pi < \pi \Leftrightarrow -\frac{1}{3} < k < \frac{2}{3}$. Mà $k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k=0$. Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm trong khoảng $(0;\pi)$. Xét khẳng định b: Khi $m=1$ ta có phương trình $\sin x - \sqrt{3} \cos x = 1 \Leftrightarrow 2\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = 1 \Leftrightarrow \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$. Xét khẳng định c: Vì $m=3$ mà $\left|\frac{m}{2}\right| = \frac{3}{2} > 1$ nên phương trình vô nghiệm. Xét khẳng định d: Phương trình $\sin x - \sqrt{3} \cos x = m \Leftrightarrow 2\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = m$ có nghiệm $\Leftrightarrow \left|\frac{m}{2}\right| \leq 1 \Leftrightarrow -2 \leq m \leq 2$. Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm khi $m$ thuộc $[-2;2]$.