Một khu du lịch có hình dạng được giới hạn bởi đường parabol có phương trình $ \left ( { P } \right ):f\left ( { x } \right )=-x ^ { 2 } +2x+2 $ và đường cao tốc nằm trên đường thẳng $ Δ:y=2x+6 $ (như hình vẽ). Mỗi đơn vị trên hai trục được tính là 1 km. Người ta định chọn một điểm A trên parabol và một điểm B trên đường cao tốc để xây một đường dẫn vào khu du lịch. Tính chiều dài ngắn nhất của đường dẫn. (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Gọi $ M\left ( { x_{ 0 } ;y_{ 0 } } \right )∈\left ( { P } \right ) $ và $ d $ là tiếp tuyến của $ \left ( { P } \right ) $ tại $ M $ có phương song song với $ Δ. $ Khi đó $ AB_{ \min } =d\left ( { d,Δ } \right ) $ Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến của $ \left ( { P } \right ) $ tại $ M $ là: $ k=y'\left ( { x_{ 0 } } \right )=-2x_{ 0 } +2. $ Tiếp tuyến này song song với $ Δ $ nên suy ra $ k=2⇔-2x_{ 0 } +2=2⇔x_{ 0 } =0. $ Suy ra phương trình tiếp tuyến $ d:y=2\left ( { x-0 } \right )+2=2x+2. $ Vậy $ AB_{ \min } =d\left ( { d,Δ } \right )=d\left ( { M,Δ } \right )=\frac { \left | { 4 } \right | } { \sqrt[] { 4+1 } }=\frac { 4 } { \sqrt[] { 5 } }≈1,79 $ Khi đó điểm $ A≡M\left ( { 0\,;\,2 } \right ) $ và $ B $ là hình chiếu vuông góc của $ A $ trên $ Δ. $