Trò chơi điện tử đua xe thiết kế đường đua theo quỹ đạo là đồ thị $ \left ( { C } \right ) $ có hàm số: $ y=x ^ { 3 } +\left ( { 2m-1 } \right )x ^ { 2 } +\left ( { 1-m } \right )x+3m ^ { 2 } +2m-5 $ trong đó $ m $ là tham số. Tìm giá trị nguyên dương nhỏ nhất của tham số $ m $sao cho khi xe gặp sự cố mất lái lao tự do thì nó sẽ chuyển động theo quỹ đạo là đường thẳng tạo với đường thẳng $ d $một góc có số đo bằng $ α, $biết $ d:x+2y-5=0 $ và $ \cosα=\frac { 1 } { \sqrt[] { 5 } }⋅ $

Khi xe gặp sự cố mất lái lao tự do thì nó sẽ chuyển động theo quỹ đạo là đường thẳng tiếp tuyến của hàm số quỹ đạo ngay tại điểm mất lái. Ta có: $ y'=3x ^ { 2 } +2\left ( { 2m-1 } \right )x+\left ( { 1-m } \right ) $ Gọi $ k $ là hệ số góc của tiếp tuyến, phương trình tiếp tuyến $ y=kx+b $. Suy ra tiếp tuyến có vectơ pháp tuyến $ \overset\rightarrow { n_{ 1 } }=\left ( { k;-1 } \right ) $, đường thẳng $ d $ có vectơ pháp tuyến $ \overset\rightarrow { n_{ 2 } }=\left ( { 1;2 } \right ) $. Ta có $ \cosα=\frac { \left | { n_{ 1 } .n_{ 2 } } \right | } { \left | { n_{ 1 } } \right |.\left | { n_{ 2 } } \right | }⇔\frac { 1 } { \sqrt[] { 5 } }=\frac { \left | { k-2 } \right | } { \sqrt[] { 5 }.\sqrt[] { k ^ { 2 } +1 } }⇔-4k+3=0⇔k=\frac { 3 } { 4 } $ Để đồ thị (C) có tiếp tuyến thỏa mãn ycbt thì phương trình: $ y'=\frac { 3 } { 4 } $ có nghiệm. Nghĩa là: $ 3x ^ { 2 } +2\left ( { 2m-1 } \right )x+\left ( { 1-m } \right )=\frac { 3 } { 4 } $ có nghiệm. $ ⇔12x ^ { 2 } +8\left ( { 2m-1 } \right )x+1-4m=0 $ có nghiệm. $ ⇔Δ'=16\left ( { 2m-1 } \right ) ^ { 2 } -12\left ( { 1-4m } \right )≥0 $ $ ⇔16m ^ { 2 } -4m+1≥0 $ $ ⇔∀m∈\mathbb{R}. $ Do vậy $ m=1. $.