Cho hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $ có độ dài các cạnh bằng $ a $. Gọi $ M $ là trung điểm $ SB $. Tính khoảng cách từ $ D $ đến mặt phẳng $ \left ( { MAC } \right ) $.

Gọi $ O $ là giao điểm của $ AC $ và $ BD $. Ta có: $ SO=\sqrt[] { SB ^ { 2 } -BO ^ { 2 } }=\sqrt[] { a ^ { 2 } -\left ( { \frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 } } \right ) ^ { 2 } }=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 } $. Suy ra tam giác $ SBO $ vuông cân tại $ O $. Có $ OM=\frac { SB } { 2 }=\frac { a } { 2 } $. $ d\left[ M,\left ( { ABCD } \right ) \right]=\frac { SO } { 2 }=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 4 } $. Suy ra $ V_{ MACD } =\frac { 1 } { 3 }S_{ ACD } .d\left[ M,\left ( { ACD } \right ) \right]=\frac { 1 } { 3 }.\frac { 1 } { 2 }a ^ { 2 } .\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 4 }=\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 2 } } { 24 } $. $ S_{ MAC } =\frac { 1 } { 2 }OM.AC=\frac { 1 } { 2 }.\frac { a } { 2 }.a\sqrt[] { 2 }=\frac { a ^ { 2 } \sqrt[] { 2 } } { 4 } $ $ V_{ MACD } =\frac { 1 } { 3 }S_{ MAC } .d\left[ D,\left ( { MAC } \right ) \right]⇒d\left[ D,\left ( { MAC } \right ) \right]=\frac { 3V_{ MACD } } { S_{ MAC } }=\frac { 3.\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 2 } } { 24 } } { \frac { a ^ { 2 } \sqrt[] { 2 } } { 4 } }=\frac { a } { 2 } $.