Trắc nghiệm · Câu 47
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): 4x + my + mz + 2024 = 0$ và mặt phẳng $(Q): x - y - 3 = 0$. Có bao nhiêu giá trị của $m$ sao cho góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ bằng $60^{\circ}$?
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
A.
1
Lời giải
Lời giải
Vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ lần lượt là $\vec{n}_{1} = (4; m; m)$ và $\vec{n}_{2} = (1; -1; 0)$.
Góc giữa hai mặt phẳng xác định bởi công thức:
$$
\cos 60^{\circ} = \frac{|\vec{n}_{1} \cdot \vec{n}_{2}|}{|\vec{n}_{1}| \cdot |\vec{n}_{2}|} = \frac{1}{2}
$$
$$
\frac{|4 - m|}{\sqrt{16 + m^2 + m^2} \cdot \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2}} = \frac{|4 - m|}{\sqrt{16 + 2m^2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}
$$
$$
2|4 - m| = \sqrt{2(16 + 2m^2)} = \sqrt{32 + 4m^2}
$$
Bình phương hai vế:
$$
4(16 - 8m + m^2) = 32 + 4m^2
$$
$$
64 - 32m + 4m^2 = 32 + 4m^2
$$
$$
32 = 32m \Rightarrow m = 1
$$
Vậy có 1 giá trị của $m$ thỏa mãn.