Một vùng núi được mô phỏng bằng mặt phẳng địa hình: $ \left ( { P } \right ):{ \rm{ } }x+2y-z=0 $ Một người bị nạn đang đứng tại điểm $ B(2;1;6) $ không nằm trên mặt đất, mà đứng trên một mỏm đá cao. Một trực thăng xuất phát từ căn cứ tại điểm $ H(1082;-809;1624) $, bay theo đường thẳng hướng đến người bị nạn. Tuy nhiên, để đảm bảo an toàn, trực thăng chỉ được phép dừng lại tại một điểm $ M $ trên đường bay, sao cho: $ M $ cách mặt phẳng địa hình $ (P) $ đúng 2 mét. Sau đó từ điểm $ M $(trong đó hoành độ, tung độ và cao độ được làm tròn đến hàng phần trăm), trực thăng thả cáp cứu hộ hỗ trợ người bị nạn Hãy tính độ dài đoạn bay từ căn cứ $ H $ đến điểm tiếp cận $ M $(làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Ta có: $ u=\overset\rightarrow { HB }=(2-1082;1+809;6-1624)=(-1080;810;-1618) $ Phương trình tham số của đường thẳng: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=1082-1080t \\ y=-809+810t,\quad t\in \mathbb{R} \\ z=1624-1618t \\ \end{array} \end{array} \right. $ Công thức khoảng cách từ điểm $ M(x,y,z) $ đến mặt phẳng $ x+2y-z=0 $: $ d=\frac { \|x+2y-z\| } { \sqrt[] { 1 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } +(-1) ^ { 2 } } }=\frac { \|x+2y-z\| } { \sqrt[] { 6 } }=2⇒\|x+2y-z\|=2\sqrt[] { 6 } $ Thay tọa độ điểm $ M\in d $: $ x+2y-z=\left ( { 1082-1080{ \rm{ } }t } \right )+2\left ( { -809+810{ \rm{ } }t } \right )-\left ( { 1624-1618{ \rm{ } }t } \right ) $ $ =1082-1080{ \rm{ } }t-1618+1620{ \rm{ } }t-1624+1618{ \rm{ } }t=-2160+2158{ \rm{ } }t $ $ \to \|2158t-2160\|=2\sqrt[] { 6 }⇒2158t-2160=±2\sqrt[] { 6 }⇒t=\frac { 2160±2\sqrt[] { 6 } } { 2158 } $ Chọn nghiệm nhỏ hơn (vì $ M $ nằm giữa $ H $ và $ B $): $ t=\frac { 2160-2\sqrt[] { 6 } } { 2158 } $ Tại đây ta tìm được tọa độ điểm đã được làm tròn đến hàng phần trăm là: $ M(3,45;-0,09;8,17) $ Suy ra: $ HM≈2104 $