Một khu du lịch sinh thái mới được xây dựng tại vùng núi. Người ta dự định thiết kế một tháp quan sát để du khách có thể ngắm nhìn toàn cảnh thiên nhiên. Phần chân đế của tháp là một bệ hình bình hành $ ABCD $ đặt trên địa hình đồi núi với 3 trong số 4 góc chân đế đã được khảo sát thực địa, có tọa độ như sau (tính theo đơn vị mét): - Điểm $ A $: tọa độ $ (5,-4,1) $. - Điểm $ B $: tọa độ $ (5,4,0) $. - Điểm $ C $: tọa độ $ (-5,4,2) $. Đỉnh cao nhất (điểm quan sát của tháp) được đặt tại điểm $ E $, có tọa độ $ (0,0,10) $.

Question

Beedemy · Accepted Answer

a. Điểm $ D $: tọa độ $ (-5;-4;3) $ Đúng. b. Kỹ sư thiết kế cần tính phương trình của mặt phẳng nghiêng tạo bởi ba điểm $ B,C $ và điểm quan sát $ E $. Khi đó phương trình của mặt phẳng này là $ 4x+45y+20z=200 $ Đúng. c. Góc nghiêng của mặt phẳng kính $ BCE $ so với mặt đáy của tháp là $ 1,02 $(rad) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) Đúng. d. Lắp đặt dây cáp điện đi từ trung điểm của cạnh chân đế $ AD $ đến mặt kính $ BCE $, khi đó độ dài ngắn nhất dây cáp điện cần sử dụng là$ 6,88 $m (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) Đúng. Lời giải: a) Đúng. Vì tứ giác $ ABCD $ là hình bình hành, ta có: $ \oversetightarrow { BA }=\oversetightarrow { CD }=(0;-8;1) $ Do đó: $ D=(-5;-4;3) $ b) Đúng. Mặt phẳng $ BCE $ có véc-tơ pháp tuyến là: $ \left[ \oversetightarrow { EB },\oversetightarrow { EC } ight]=(8;90;40) $ Nên phương trình mặt phẳng $ BCE $ là: $ 4x+45y+20z=200 $ (1) c) Đúng. Mặt phẳng $ ABCD $ có véc-tơ pháp tuyến là: $ \left[ \oversetightarrow { AB },\oversetightarrow { BC } ight]=(16;10;80){ m{ } } $ Góc giữa hai mặt phẳng $ ABCD $ và $ BCE $ chính là góc giữa hai véc-tơ pháp tuyến: $ { m{ ar } }ccos\left ( { \frac { \left | { (4;45;20).(8;5;40) } ight | } { \left | { (4;45;20) } ight |⋅\left | { (8;5;40) } ight | } } ight )={ m{ ar } }ccos\left ( { \frac { \|32+225+800\| } { \sqrt[] { 16+2025+400 }⋅\sqrt[] { 64+25+1600 } } } ight )≈1,02 $(rad) d) Đúng. Gọi $ M $ là trung điểm của cạnh $ AD $, ta có: $ M=\left ( { 0;-4;2 } ight ) $ Gọi $ N $ là điểm trên mặt phẳng $ BCE $ gần $ M $ nhất. Khi đó véc-tơ $ \oversetightarrow { MN } $ vuông góc với mặt phẳng $ BCE $. Phương trình tham số của đường thẳng $ MN:\left \{ \begin{array}{l} x=0+4t \ y=-4+45t \ z=2+20t \end{array} ight.,t\in \mathbb{R} $ Vì $ N $ nằm trên mặt phẳng $ BCE $, nên thay vào phương trình (1): $ 4(0+4t)+45(-4+45t)+20(2+20t)=200 \ ⇒16t-180+2025t+40+400t=200⇒2441t=340⇒t=\frac { 340 } { 2441 } $ Khi đó, độ dài: $ \|\oversetightarrow { MN }\|=\frac { 340 } { 2441 }⋅\sqrt[] { 2441 }≈6,88 $

Cùng dạng: Vị trí tương đối giữa đường thẳng với mặt phẳng và hai đường thẳng trong không gian