Cho hình lăng trụ tam giác $ ABC.A'B'C' $ có đáy $ ABC $ là tam giác vuông tại $ A $, $ AC=3,AB=2 $, biết hình chiếu vuông góc của $ C' $ trên mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ trùng với điểm $ A $ và $ C'A=4 $. Chọn hệ trục tọa độ $ Oxyz $ thỏa mãn $ O≡A $, các trục tọa độ $ Ox,Oy,Oz $ lần lượt chứa với các cạnh $ AC,AB,AC' $ và có hướng như hình vẽ.

a) Đúng. Ta có tọa độ điểm $ C' $ là $ \left ( { 0;0;4 } \right ) $. b) Đúng. Theo giả thiết ta có: $ A\left ( { 0;0;0 } \right ),C\left ( { 3;0;0 } \right ),B\left ( { 0;2;0 } \right ) $. Lại có: $ \overset\rightarrow { CB }+\overset\rightarrow { AC' }+\overset\rightarrow { B'A' }=\overset\rightarrow { AB }-\overset\rightarrow { AC }+\overset\rightarrow { AC' }-\overset\rightarrow { AB }=\overset\rightarrow { AC' }-\overset\rightarrow { AC }=\overset\rightarrow { CC' } $. Ta có: $ \overset\rightarrow { CC' }=\left ( { -3;0;4 } \right )⇒\left | { \overset\rightarrow { CB }+\overset\rightarrow { AC' }+\overset\rightarrow { B'A' } } \right |=\left | { \overset\rightarrow { CC' } } \right |=\sqrt[] { \left ( { -3 } \right ) ^ { 2 } +0 ^ { 2 } +4 ^ { 2 } }=5 $. c) Sai. Ta có: $ mp\left ( { ABC } \right )≡mp\left ( { Oxy } \right );C'A⊥\left ( { ABC } \right )⇒ \widehat { \left ( { CC',\left ( { ABC } \right ) } \right ) }= \widehat { C'CA } $. $ cos \widehat { C'CA }=\frac { CA } { CC' }=\frac { 3 } { 5 }\neq \frac { 1 } { 2 }=cos60° $. d) Đúng. Giả sử $ M\left ( { x;y;z } \right )⇒\overset\rightarrow { MB }=\left ( { -x;2-y;-z } \right ),\overset\rightarrow { MC }=\left ( { 3-x;-y;-z } \right ) $. Suy ra: $ \overset\rightarrow { MB }.\overset\rightarrow { MC }=-x\left ( { 3-x } \right )-y\left ( { 2-y } \right )+z ^ { 2 } =x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } -3x-2y $. $ MB ^ { 2 } =\left ( { -x } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 2-y } \right ) ^ { 2 } +\left ( { -z } \right ) ^ { 2 } =x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } -4y+4 $. Do đó $ \overset\rightarrow { MB }.\overset\rightarrow { MC }=MB ^ { 2 } ⇔x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } -3x-2y=x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } -4y+4 $$ ⇔3x-2y+4=0 $. Vậy tập hợp tất cả các điểm $ M $ thỏa mãn $ \overset\rightarrow { MB }.\overset\rightarrow { MC }=MB ^ { 2 } $ là mặt phẳng có phương trình: $ 3x-2y+4=0 $ hay $ ax+by+cz+4=0 $ với $ a=3;b=-2;c=0⇒a+b+c=1 $.