(Chuyên Lương Thế Vinh - Đồng Nai 2025) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ $ O\left ( { 0;0;0 } \right ) $, mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 350 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí $ A\left ( { 400;200;10 } \right ) $, chuyển động theo đường thẳng đến vị trí $ D\left ( { -350;50;10 } \right ) $.

a) Sai: Ta có $ OA=\sqrt[] { 400 ^ { 2 } +200 ^ { 2 } +10 ^ { 2 } }>350 $ Nên khi máy bay ở vị trí A thì nó chưa hiển thị trên màn hình ra đa. b) Đúng: Ta có $ \overset\rightarrow { AD }=\left ( { -750;-150;0 } \right ) $ nên đường thẳng AD có một vectơ chỉ phương là $ u=-\frac { 1 } { 150 }\overset\rightarrow { AD }=\left ( { 5;1;0 } \right ) $ Vậy máy bay chuyển động trên đường thẳng có phương trình là $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=400+5t \\ y=200+t,t\in ℝ \\ z=10 \\ \end{array} \end{array} \right. $ c) Sai: Gọi B, C là giao điểm của mặt cầu $ \left ( { C } \right ):x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } =350 ^ { 2 } $ và đường thẳng AD. Ta có $ B $ là điểm đầu tiên hiến thị trên màn hình ra đa, $ C $ là điểm cuối cùng hiển thị trên màn hình ra đa. Thay $ x=400+5t,y=200+t,z=10 $ vào phương trình của ($ C $) ta được $ (400+5t) ^ { 2 } +(200+t) ^ { 2 } +10 ^ { 2 } =350 ^ { 2 } $ $ ⇔26t ^ { 2 } +4400t+77600=0⇔\left[ \begin{array}{l} t=-20 \\ t=-\frac { 1940 } { 13 } \\ \end{array} \right. $ Với $ t=-20 $ thì $ x=300 $; Với $ t=-\frac { -1940 } { 13 } $ thì $ x=-\frac { 4500 } { 13 }≈-346 $. Ta thấy rằng $ 400>300>-\frac { 4500 } { 13 }>-350 $ nên vị trí đầu tiên hiển thị trên màn hình ra đa là $ B\left ( { 300;180;10 } \right ) $. d) Sai: Ta có $ C\left ( { -\frac { 4500 } { 13 };\frac { 660 } { 13 };10 } \right ) $. Khoảng cách từ điểm đầu tiên hiển thị trên màn hình ra đa và điểm cuối hiển thị trên màn hình ra đa là $ d=\sqrt[] { \left ( { 300+\frac { 4500 } { 13 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 180-\frac { 660 } { 13 } } \right ) ^ { 2 } +(10-10) ^ { 2 } }≈663,1626\left ( { { \rm{ km } } } \right ) $ Lại có $ AD=\sqrt[] { (400+350) ^ { 2 } +(200-50) ^ { 2 } +(10-10) ^ { 2 } }≈764,8529\left ( { { \rm{ km } } } \right ) $. Do máy bay chuyển động đều nên tỉ lệ thời gian bằng tỉ lệ khoảng cách. Gọi thời gian máy bay bay từ B đến C là $ t $ (phút), ta có $ \frac { t } { 50 }≈\frac { 663,1626 } { 764,8529 } $, suy ra $ t≈43,35 $ phút.